Optimisez votre portefeuille en utilisant une distribution normale

La distribution normale est la distribution de probabilité qui trace toutes ses valeurs de manière symétrique avec la plupart des résultats situés autour de la moyenne de probabilité.

Distribution normale (courbe en cloche)

Les ensembles de données (comme la taille de 100 personnes, les notes obtenues par 45 élèves dans une classe, etc.) ont tendance à avoir plusieurs valeurs au même point de données ou dans la même plage. Cette distribution des points de données s'appelle distribution normale ou courbe de cloche.

Par exemple, dans un groupe de 100 personnes, 10 peuvent avoir une hauteur inférieure à 5 pieds, 65 entre 5 et 5, 5 pieds et 25 au dessus de 5, 5 pieds. Cette distribution liée à la plage peut être tracée comme suit:

De même, les points de données représentés graphiquement pour un ensemble de données donné peuvent ressembler à différents types de distributions. Trois des plus courantes sont les distributions alignées à gauche, à droite et mélangées:

Notez la courbe de tendance rouge dans chacun de ces graphiques. Ceci indique approximativement la tendance de la distribution des données. Le premier, «Distribution alignée à GAUCHE», indique qu’une majorité des points de données se situe dans la plage inférieure. Dans le deuxième graphique «Distribution alignée à droite», la majorité des points de données se situent dans la partie supérieure de la plage, tandis que le dernier, «Distribution mélangée», représente un ensemble de données mélangé sans tendance claire.

Il existe de nombreux cas dans lesquels la distribution des points de données tend à se situer autour d'une valeur centrale, et ce graphique montre une distribution normale parfaite - équilibrée des deux côtés, avec le plus grand nombre de points de données concentrés au centre.

Voici un ensemble de données parfait, normalement distribué:

La valeur centrale ici est 50 (qui a le plus grand nombre de points de données), et la distribution diminue progressivement vers les valeurs extrêmes extrêmes 0 et 100 (qui ont le plus petit nombre de points de données). La distribution normale est symétrique autour de la valeur centrale avec la moitié des valeurs de chaque côté.

De nombreux exemples concrets correspondent à la distribution de la courbe en cloche:

• Lancez une pièce équitable plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une répartition normale équilibrée des têtes et des queues.
• Lancez une paire de dés équitables plusieurs fois (par exemple 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une distribution équilibrée et normale centrée autour du nombre 7 et diminuant uniformément vers les valeurs extrêmes 2 et 12.
• La taille des individus dans un groupe de taille considérable et les marques obtenues par les membres d'une classe suivent toutes deux des schémas de distribution normaux.
• En finance, modifications des valeurs de log taux de change, les indices de prix et les cours des actions sont supposés être normalement distribués.

Risques et retours

Tout investissement a deux aspects: risque et rendement. Les investisseurs recherchent le risque le plus faible possible pour le rendement le plus élevé possible. La distribution normale quantifie ces deux aspects par la moyenne des rendements et l’écart type du risque. (Pour plus d'informations, voir "Analyse de la variance moyenne".)

Valeur moyenne ou attendue

Un changement moyen du prix d'une action pourrait être de 1, 5% sur une base quotidienne, ce qui signifie qu'il augmente en moyenne de 1, 5%. Cette valeur moyenne ou la valeur attendue signifiant le retour peut être obtenue en calculant la moyenne sur un jeu de données suffisamment grand contenant l'historique des variations de prix journalières de ce stock. Plus la moyenne est élevée, mieux c'est.

Écart-type

L’écart type indique l’écart entre les valeurs et la moyenne. Plus l'écart-type est élevé, plus l'investissement est risqué car il engendre plus d'incertitude.

Voici une représentation graphique de la même chose:

Par conséquent, la représentation graphique de la distribution normale par le biais de sa moyenne et de son écart type permet de représenter à la fois les rendements et le risque dans une plage clairement définie.

Il est utile de savoir (et d’être assuré avec certitude) que si une série de données suit le modèle de distribution normal, sa moyenne nous permettra de savoir ce que l’on attend de plus en plus, et son écart type nous permettra de savoir qu’environ 68% des valeurs sera compris dans un écart type, 95% dans un écart type et 99% des valeurs se situeront dans un écart type de 3. Un jeu de données qui a une moyenne de 1, 5 et un écart type de 1 est beaucoup plus risqué qu'un autre jeu de données ayant une moyenne de 1, 5 et un écart type de 0, 1.

En connaissant ces valeurs pour chaque actif sélectionné (actions, obligations et fonds), l'investisseur sera informé des rendements et des risques attendus.

Il est facile d’appliquer ce concept et de représenter le risque et le rendement d’une action, d’une obligation ou d’un fonds. Mais cela peut-il être étendu à un portefeuille de plusieurs actifs ">

Les particuliers commencent à négocier en achetant une action ou une obligation unique ou en investissant dans un fonds commun de placement. Progressivement, ils ont tendance à augmenter leurs avoirs et à acheter plusieurs actions, fonds ou autres actifs, créant ainsi un portefeuille. Dans ce scénario incrémental, les individus construisent leurs portefeuilles sans stratégie ni beaucoup de prévoyance. Les gérants de fonds professionnels, les traders et les market makers suivent une méthode systématique pour construire leur portefeuille en utilisant une approche mathématique appelée théorie moderne du portefeuille (MPT), fondée sur le concept de «distribution normale».

Théorie moderne du portefeuille

La théorie moderne du portefeuille (MPT) offre une approche mathématique systématique qui vise à maximiser le rendement attendu d'un portefeuille pour un montant de risque de portefeuille donné en sélectionnant les proportions de divers actifs. Alternativement, il propose également de minimiser les risques pour un niveau de rendement attendu.

Pour atteindre cet objectif, les actifs à inclure dans le portefeuille ne doivent pas être sélectionnés uniquement en fonction de leur mérite individuel, mais plutôt de la performance de chaque actif par rapport aux autres actifs du portefeuille.

En résumé, MPT définit comment optimiser la diversification du portefeuille pour obtenir les meilleurs résultats possibles: rendements maximums pour un niveau de risque acceptable ou minimum pour un niveau de rendement souhaité.

Les blocs de construction

Le MPT était un concept tellement révolutionnaire quand il a été introduit que ses inventeurs ont remporté un Noble Prize. Cette théorie a fourni avec succès une formule mathématique pour guider la diversification dans l’investissement.

La diversification est une technique de gestion des risques, qui supprime le risque «tous les oeufs d'un panier» en investissant dans des actions, des secteurs ou des classes d'actifs non corrélés. Idéalement, la performance positive d'un actif du portefeuille annulera la performance négative des autres actifs.

Pour prendre le rendement moyen du portefeuille qui a n actifs différents, la combinaison pondérée en fonction du rendement des rendements des actifs constituants est calculée.

En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le rendement global du portefeuille (R _p ) est calculé comme suit:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

La somme (), où w _i est le poids proportionnel de l'actif i dans le portefeuille, R _i est le rendement (moyen) de l'actif i.

Le risque de portefeuille (ou écart-type) est fonction des corrélations des actifs inclus, pour toutes les paires d'actifs (les unes par rapport aux autres).

En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le risque global du portefeuille (Std-dev) _p est calculé comme suit:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {aligné} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {aligné} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] Un séjour sans faille

Ici, cor-cof est le coefficient de corrélation entre les rendements des actifs i et j, et sqrt est la racine carrée.

Cela prend en compte la performance relative de chaque actif par rapport à l'autre.

Bien que cela semble complexe sur le plan mathématique, le concept simple appliqué ici ne comprend pas seulement les écarts-types d’actifs individuels, mais également les écarts entre eux.

Un bon exemple est disponible ici à l'Université de Washington.

Un exemple rapide de MPT

En tant qu’expérience bien pensée, imaginons que nous sommes un gestionnaire de portefeuille qui a reçu un capital et dont le rôle est de déterminer le montant de capital devant être affecté à deux actifs disponibles (A & B) afin d’optimiser le rendement attendu et de réduire le risque.

Nous avons également les valeurs suivantes disponibles:

R _a = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

En commençant avec une allocation égale de 50-50 à chaque actif A & B, le Rp calcule à 0, 115 et (Std-dev) _p à 0, 1332. Une simple comparaison nous indique que pour ce portefeuille de 2 actifs, le rendement et le risque sont à mi-chemin entre les valeurs individuelles de chaque actif.

Cependant, notre objectif est d’améliorer le rendement du portefeuille au-delà de la simple moyenne de chaque actif et de réduire le risque, de sorte qu’il soit inférieur à celui des actifs individuels.

Prenons maintenant une position d'allocation de capital de 1, 5 dans l'actif A et une position d'allocation de capital de -0, 5 dans l'actif B. (Une allocation de capital négative signifie que la réduction à la valeur du stock et du capital reçu est utilisée pour acheter le surplus de l'autre En d'autres termes, nous manquons d'actions B pour 0, 5 fois le capital et utilisons cet argent pour acheter des actions A pour un montant correspondant à 1, 5 fois le capital.)

En utilisant ces valeurs, nous obtenons R _p comme 0.1604 et (Std-dev) _p comme 0.4005.

De même, nous pouvons continuer à utiliser différentes pondérations d'allocation pour les actifs A et B et arriver à différents ensembles de Rp et (Std-dev) p. Selon le rendement souhaité (Rp), on peut choisir le niveau de risque le plus acceptable (std-dev) p. Alternativement, pour le niveau de risque souhaité, on peut sélectionner le meilleur rendement de portefeuille disponible. Quoi qu’il en soit, grâce à ce modèle mathématique de la théorie du portefeuille, il est possible de réaliser l’objectif consistant à créer un portefeuille efficace avec la combinaison de risque et de rendement souhaitée.

L'utilisation d'outils automatisés permet de détecter facilement et en douceur les meilleures proportions attribuées possibles, sans avoir à effectuer de longs calculs manuels.

La frontière efficiente, le modèle de capitalisation du capital (CAPM) et la tarification des actifs à l'aide de MPT évoluent également à partir du même modèle de distribution normale et constituent une extension du MPT.

Défis posés au MPT (et à la distribution normale sous-jacente)

Malheureusement, aucun modèle mathématique n'est parfait et chacun présente des insuffisances et des limites.

L'hypothèse de base selon laquelle les rendements des cours des actions suivent la distribution normale est elle-même remise en cause. Il existe suffisamment de preuves empiriques des cas où les valeurs ne parviennent pas à adhérer à la distribution normale supposée. Baser des modèles complexes sur de telles hypothèses peut conduire à des résultats avec des écarts importants.

Pour aller plus loin dans le MPT, les calculs et les hypothèses concernant le coefficient de corrélation et la covariance restant fixes (sur la base de données historiques) pourraient ne pas être vraisemblables pour les futures valeurs attendues. Par exemple, les marchés des obligations et des actions ont montré une corrélation parfaite sur le marché britannique de 2001 à 2004, période durant laquelle les rendements des deux actifs ont diminué simultanément. En réalité, l’inverse a été observé sur de longues périodes antérieures à 2001.

Le comportement des investisseurs n'est pas pris en compte dans ce modèle mathématique. Les taxes et les coûts de transaction sont négligés, même si une allocation fractionnelle du capital et la possibilité de court-circuiter des actifs sont supposées.

En réalité, aucune de ces hypothèses ne peut être vérifiée, ce qui signifie que les rendements financiers réalisés peuvent différer considérablement des bénéfices attendus.

Le résultat final

Les modèles mathématiques offrent un bon mécanisme pour quantifier certaines variables avec des nombres simples et traçables. Mais en raison des limites des hypothèses, les modèles peuvent échouer.

La distribution normale, qui constitue la base de la théorie du portefeuille, peut ne pas nécessairement s’appliquer aux actions et aux autres modèles de prix des actifs financiers. La théorie du portefeuille en elle-même contient de nombreuses hypothèses qui doivent être examinées de manière critique avant de prendre des décisions financières importantes.