Durée et convexité pour mesurer le risque obligataire

La duration et la convexité sont deux outils utilisés pour gérer l'exposition au risque des investissements à revenu fixe. La duration mesure la sensibilité de l'obligation à l'évolution du taux d'intérêt. La convexité est liée à l'interaction entre le prix d'une obligation et son rendement lorsque celle-ci subit des modifications des taux d'intérêt.

Avec les obligations à coupon, les investisseurs se basent sur une métrique, appelée durée, pour mesurer la sensibilité du prix d’une obligation aux variations des taux d’intérêt. Étant donné qu'une obligation à coupon effectue une série de paiements tout au long de sa vie, les investisseurs en titres à revenu fixe ont besoin de moyens pour mesurer l'échéance moyenne du flux de trésorerie promis d'une obligation afin de servir de statistique résumée de l'échéance effective de l'obligation. La duration permet d'atteindre cet objectif, permettant aux investisseurs à revenu fixe de mieux évaluer l'incertitude liée à la gestion de leurs portefeuilles.

Points clés à retenir

• Avec les obligations à coupon, les investisseurs se basent sur une métrique appelée «duration» pour mesurer la sensibilité du prix d'une obligation à la variation des taux d'intérêt.
• À l'aide d'un outil de gestion des écarts, les banques peuvent assimiler les durées des actifs et des passifs, en protégeant efficacement leur position globale des fluctuations des taux d'intérêt.

Durée d'un lien

En 1938, l'économiste canadien Frederick Robertson Macaulay a qualifié le concept de maturité effective la «durée» de l'obligation. Ce faisant, il a suggéré que cette durée soit calculée comme la moyenne pondérée des délais à l'échéance de chaque coupon, ou paiement du principal, effectué par l'obligation. La formule de durée de Macaulay est la suivante:

D = ∑i = 1Tt C (1 + r) t + T ∗ F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) twhere: D = La durée de MacAulay de la liaisonT = le nombre de périodes jusqu'à l'échéance = la deuxième période C = le paiement du coupon périodique = le rendement périodique jusqu'à l'échéance F = la valeur nominale à l'échéance \ begin {aligné} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {t * C} {\ left (1 + r \ droite) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ left (1 + r \ droite) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} \\ \ textbf {où:} \\ & D = \ text {La durée MacAulay de la liaison} \\ & T = \ text {le nombre de périodes jusqu'à l'échéance} \\ & i = \ text {the} i ^ {th} \ text {période} \\ & C = \ text {le paiement périodique du coupon} \\ & r = \ text {le rendement périodique à l'échéance} \\ & F = \ text {la valeur nominale à l'échéance} \\ \ end {aligné} où: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = La durée de MacAulay de la liaison T = le nombre de périodes jusqu'à l'échéancei = la ieme périodeC = le paiement du coupon périodiquer = le rendement périodique à l'échéanceF = la valeur nominale à l'échéance ity

Duration in Fixed Income Management

La durée est essentielle à la gestion des portefeuilles à revenu fixe pour les raisons suivantes:

1. C'est une statistique sommaire simple de la maturité moyenne effective d'un portefeuille.
2. C'est un outil essentiel pour immuniser les portefeuilles du risque de taux d'intérêt.
3. Il estime la sensibilité aux taux d'intérêt d'un portefeuille.

La métrique de durée comporte les propriétés suivantes:

• La durée d'une obligation à coupon zéro est égale à son échéance.
• En gardant une maturité constante, la duration d'une obligation est d'autant plus faible que le taux du coupon est élevé, en raison de l'impact de paiements anticipés plus élevés.
• En maintenant le taux du coupon constant, la durée d'une obligation augmente généralement avec la durée jusqu'à l'échéance. Il existe toutefois des exceptions, comme dans le cas d'instruments tels que les obligations à forte décote, dans lesquelles la durée peut diminuer en fonction de l'augmentation du calendrier des échéances.
• En maintenant les autres facteurs constants, la durée des obligations à coupon est plus élevée lorsque les rendements des obligations à échéance sont plus bas. Cependant, pour les obligations à coupon zéro, la duration correspond à la durée jusqu'à l'échéance, quel que soit le rendement jusqu'à l'échéance.
• La durée de perpétuité de niveau est (1 + y) / y. Par exemple, avec un rendement de 10%, la durée de perpétuité qui paie 100 dollars par an correspondra à 1, 10 / 0, 10 = 11 ans. Cependant, avec un rendement de 8%, il sera égal à 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 ans. Ce principe montre que maturité et durée peuvent être très différentes. Exemple: la maturité de la perpétuité est infinie, tandis que la durée de l'instrument à 10% de rendement n'est que de 11 ans. Le flux de trésorerie pondéré en fonction de la valeur actuelle au début de la durée de vie à perpétuité domine le calcul de la durée. (Pour plus d'informations sur la gestion de portefeuille, voir Mécanismes de gestion de portefeuille actions et Se préparer à une carrière en tant que gestionnaire de portefeuille .)

Durée de la gestion des écarts

De nombreuses banques présentent des inadéquations entre les échéances des actifs et des passifs. Les engagements bancaires, qui consistent principalement en des dépôts dus à des clients, sont généralement de nature à court terme et présentent des statistiques de duration faible. En revanche, les actifs d’une banque sont principalement constitués de prêts ou d’hypothèques en souffrance. Ces actifs ont généralement une durée plus longue et leur valeur est plus sensible aux fluctuations des taux d’intérêt. Lorsque les taux d’intérêt montent en flèche de manière inattendue, les banques peuvent subir une forte réduction de leur valeur nette si la valeur de leurs actifs baisse plus que leur passif.

Une technique appelée «gestion des écarts», développée à la fin des années 70 et au début des années 80, est un outil de gestion des risques largement utilisé. Les banques tentent de limiter le «décalage» entre les durées des actifs et des passifs. La gestion des écarts repose en grande partie sur les prêts hypothécaires à taux ajustables (ARM), éléments essentiels de la réduction de la durée des portefeuilles d’actifs bancaires. Contrairement aux hypothèques conventionnelles, la valeur des ARM ne diminue pas lorsque les taux du marché augmentent, car les taux qu'ils paient sont liés au taux d'intérêt actuel.

De l’autre côté du bilan, l’introduction de certificats de dépôt (CD) à long terme et à échéance fixe a pour effet d’allonger la durée des engagements bancaires, tout en contribuant à la réduction de l’écart de duration. (En savoir plus sur les écarts financiers dans Playing the Gap .)

Comprendre la gestion des lacunes

Les banques ont recours à la gestion des écarts afin d’équilibrer la durée des actifs et des passifs, en protégeant efficacement leur position globale des fluctuations des taux d’intérêt. En théorie, les actifs et les passifs d'une banque ont à peu près la même taille. Par conséquent, si leurs durées sont égales, toute modification des taux d’intérêt affectera la valeur des actifs et des passifs dans la même mesure, et les modifications des taux d’intérêt n’auraient par conséquent que peu ou pas d’effet final sur la valeur nette. Par conséquent, l'immunisation des avoirs nets nécessite une durée de portefeuille, ou un écart, de zéro. (Pour en savoir plus sur les actifs et les passifs bancaires, consultez la rubrique Analyse des états financiers d'une banque .)

Les institutions ayant des obligations futures fixes, telles que les fonds de pension et les compagnies d’assurance, diffèrent des banques en ce sens qu’elles agissent dans l’intérêt des engagements futurs. Par exemple, les fonds de pension sont obligés de maintenir des fonds suffisants pour fournir aux travailleurs un flux de revenus à la retraite. La valeur des actifs détenus par le fonds et le taux de génération de revenus de ces actifs varient en fonction des taux d'intérêt. Par conséquent, les gestionnaires de portefeuille peuvent souhaiter protéger (immuniser) la valeur future accumulée du fonds à une date cible, contre les fluctuations des taux d'intérêt. En d'autres termes, la vaccination protège les actifs et les passifs assortis d'une durée, de sorte qu'une banque peut faire face à ses obligations, quels que soient les mouvements de taux d'intérêt. (Pour en savoir plus sur les obligations des fonds de pension dans Analyse du risque de pension .)

La convexité dans la gestion des titres à revenu fixe

Malheureusement, la durée a des limites lorsqu'elle est utilisée comme mesure de la sensibilité aux taux d'intérêt. Alors que la statistique calcule une relation linéaire entre les variations de prix et de rendement des obligations, la relation entre les variations de prix et de rendement est en réalité convexe.

Sur la figure 1, la ligne courbe représente l’évolution des prix, compte tenu de l’évolution des rendements. La droite, tangente à la courbe, représente la variation estimée du prix via la statistique de la durée. La zone ombrée révèle la différence entre l'estimation de la durée et le mouvement du prix réel. Comme indiqué, plus la variation des taux d'intérêt est importante, plus l'erreur d'erreur d'estimation de la variation de prix de l'obligation est grande.

Figure 1

La convexité, une mesure de la courbure de l’évolution du prix d’une obligation par rapport à l’évolution des taux d’intérêt, corrige cette erreur en mesurant l’évolution de la duration en fonction de la fluctuation des taux d’intérêt. La formule est la suivante:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2 où: C = convexité B = le coût de la liaison = l'intérêt noté = durée \ begin {aligné} & C = \ frac {d ^ 2 \ à gauche (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {où:} \\ & C = \ text {convexité} \\ & B = \ text {le prix de l'obligation} \\ & r = \ text {le taux d'intérêt} \\ & d = \ text {duration} \\ \ end {aligné} C = B <d <r2d2 (B (r)) où: C = convexité B = le pricant de la liaison = l'intérêt noté = durée

En général, plus le coupon est élevé, plus la convexité est faible, car une obligation de 5% est plus sensible aux variations de taux d'intérêt qu'une obligation de 10%. En raison de la fonction call, les obligations appelables afficheront une convexité négative si les rendements tombent trop bas, ce qui signifie que la durée diminuera lorsque les rendements diminueront. Les obligations à coupon zéro présentent la plus grande convexité, les relations n'étant valables que lorsque les obligations comparées ont la même durée et le même rendement jusqu'à l'échéance. En particulier, une obligation à forte convexité est plus sensible aux variations des taux d’intérêt et devrait par conséquent être le théâtre de plus fortes fluctuations de prix lorsque les taux fluctuent.

L'inverse est vrai pour les obligations à faible convexité, dont les prix ne fluctuent pas autant lorsque les taux d'intérêt changent. Lorsqu'elle est représentée graphiquement sur un graphique en deux dimensions, cette relation doit générer une forme en U à longue pente (d'où le terme "convexe").

Les obligations à coupon bas et à coupon zéro, qui ont tendance à avoir des rendements plus faibles, affichent la plus grande volatilité des taux d’intérêt. En termes techniques, cela signifie que la durée modifiée de l'obligation nécessite un ajustement plus important pour suivre le changement de prix plus élevé après les fluctuations des taux d'intérêt. Des taux de coupon plus bas entraînent des rendements plus faibles, et des rendements plus faibles entraînent des degrés de convexité plus élevés.

(Pour en savoir plus sur certains risques associés aux obligations appelables et autres, lisez Fonctions d'appel: ne vous laissez pas surprendre par les obligations de sociétés et les obligations d'entreprise: introduction au risque de crédit .)

Le résultat final

Les taux d'intérêt en constante évolution introduisent une incertitude dans les placements à revenu fixe. La duration et la convexité permettent aux investisseurs de quantifier cette incertitude, en les aidant à gérer leurs portefeuilles à revenu fixe.

Pour en savoir plus sur les placements dans les titres à revenu fixe, voir Création du portefeuille moderne de titres à revenu fixe et erreurs d’achat d’obligations ordinaires .