Les utilisations et les limites de la volatilité

Les investisseurs aiment se concentrer sur la promesse de rendements élevés, mais ils doivent également demander quel risque ils doivent assumer en échange de ces rendements. Bien que nous parlions souvent de risque dans un sens général, il existe également des expressions formelles de la relation risque-récompense. Par exemple, le ratio de Sharpe mesure le rendement excédentaire par unité de risque, le risque étant calculé en tant que volatilité, qui est une mesure de risque traditionnelle et répandue. Ses propriétés statistiques sont bien connues et il s'insère dans plusieurs cadres, tels que la théorie moderne du portefeuille et le modèle de Black-Scholes. Dans cet article, nous examinons la volatilité afin de comprendre ses utilisations et ses limites.

Déviation standard annualisée
Contrairement à la volatilité implicite - qui relève de la théorie de la tarification des options et constitue une estimation prospective basée sur un consensus du marché - la volatilité régulière est rétrograde. Plus précisément, il s'agit de l'écart type annualisé des rendements historiques.

Les cadres de risque traditionnels qui reposent sur l’écart type supposent généralement que les rendements sont conformes à une distribution en forme de cloche normale. Les distributions normales nous donnent des indications utiles: environ les deux tiers du temps (68, 3%), les rendements devraient se situer dans les limites d’un écart-type (+/-); et 95% du temps, les retours devraient se situer entre deux écarts-types. Les deux qualités d’un graphe de distribution normale sont des "queues" minces et une symétrie parfaite. Les queues maigres impliquent une très faible occurrence (environ 0, 3% du temps) de rendements supérieurs à trois écarts types par rapport à la moyenne. La symétrie implique que la fréquence et l’ampleur des gains à la hausse sont un reflet des pertes à la baisse.

VOIR: L'impact de la volatilité sur les rendements du marché

Par conséquent, les modèles traditionnels traitent toutes les incertitudes comme des risques, quelle que soit leur direction. Comme beaucoup de personnes l'ont montré, le problème est que les rendements ne soient pas symétriques. Les investisseurs s'inquiètent de leurs pertes "à gauche" de la moyenne, mais ils ne s'inquiètent pas des gains à la droite de la moyenne.

Nous illustrons cette bizarrerie ci-dessous avec deux stocks fictifs. Le stock en baisse (ligne bleue) est totalement dépourvu de dispersion et produit donc une volatilité de zéro, mais le stock en hausse - parce qu'il présente plusieurs chocs haussiers mais pas une seule baisse - produit une volatilité (écart type) de 10%.

Propriétés théoriques
Par exemple, lorsque nous calculons la volatilité de l'indice S & P 500 au 31 janvier 2004, nous passons de 14, 7% à 21, 1%. Pourquoi une telle gamme ">

Notez que la volatilité augmente avec l’intervalle, mais pas presque proportionnellement: l’hebdomadaire n’est pas près de cinq fois le montant quotidien et le mois n’est pas près de quatre fois l’hebdomadaire. Nous sommes arrivés à un aspect clé de la théorie de la marche aléatoire: les échelles d’écart-type (augmentations) proportionnelles à la racine carrée du temps. Par conséquent, si l'écart type quotidien est de 1, 1% et s'il y a 250 jours de bourse dans une année, l'écart type annualisé est l'écart type quotidien de 1, 1% multiplié par la racine carrée de 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Sachant cela, nous pouvons annualiser les écarts-types d'intervalle pour le S & P 500 en multipliant par la racine carrée du nombre d'intervalles dans une année:

Une autre propriété théorique de la volatilité peut ne pas vous surprendre: elle érode les rendements. Cela est dû à l’hypothèse clé de l’idée de la marche aléatoire: les retours sont exprimés en pourcentage. Imaginez que vous commenciez avec 100 $ et que vous gagniez ensuite 10% pour obtenir 110 $. Ensuite, vous perdez 10%, ce qui vous rapportera 99 $ (110 $ x 90% = 99 $). Ensuite, vous gagnez encore 10%, pour atteindre 108, 90 $ (99 $ x 110% = 108, 9 $). Enfin, vous perdez 10% pour atteindre 98, 01 dollars nets. C'est peut-être contre-intuitif, mais votre principal s'érode lentement même si votre gain moyen est de 0%!

Si, par exemple, vous attendez un gain annuel moyen de 10% par an (c’est-à-dire une moyenne arithmétique), il s’avère que votre gain escompté à long terme est inférieur à 10% par an. En fait, il sera réduit d’environ la moitié de la variance (la variance étant l’écart type au carré). Dans l'hypothèse pure ci-dessous, nous commençons par 100 $, puis imaginons cinq années de volatilité pour se terminer avec 157 $:

Le rendement annuel moyen sur les cinq années était de 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% 5 = 10%), mais le

(CAGR, ou retour géométrique) est une mesure plus précise de la

et ce n’était que 9, 49%. La volatilité a érodé le résultat et la différence est d'environ la moitié de la variance de 1, 1%. Ces résultats ne proviennent pas d’un exemple historique, mais en termes d’attentes, compte tenu d’un écart-type de

(la variance est le carré de l'écart type,

^ 2) et un gain moyen attendu de

, le rendement annualisé attendu est d’environ

- (

^ 2 2).

Les retours sont-ils sains "> Nasdaq ci-dessous (environ 2 500 observations quotidiennes):

Comme vous vous en doutez, la volatilité de Nasdaq (écart-type annualisé de 28, 8%) est supérieure à la volatilité de l'indice S & P 500 (écart-type annualisé à 18, 1%). Nous pouvons observer deux différences entre la distribution normale et les rendements réels. Premièrement, les rendements réels ont des pics plus élevés, ce qui signifie une plus grande prépondérance des rendements près de la moyenne. Deuxièmement, les retours réels ont une queue plus grosse. (Nos résultats s'alignent quelque peu sur des études universitaires plus approfondies, qui tendent également à trouver des pics hauts et des queues épaisses; le terme technique utilisé pour cela est kurtosis). Supposons que nous considérions que moins trois écarts types constituait une perte importante: le S & P 500 a subi une perte quotidienne de moins trois écarts types environ -3, 4% du temps. La courbe normale prédit qu'une telle perte se produirait environ trois fois en 10 ans, mais c'est en fait arrivé 14 fois!

Ce sont des distributions de rendements d'intervalle séparés, mais que dit la théorie sur les rendements dans le temps "> le rendement annuel moyen (au cours des 10 dernières années) était d'environ 10, 6% et, comme indiqué précédemment, de la volatilité annualisée de 18, 1%. Nous effectuons ici une analyse hypothétique. essai en commençant par 100 $ et en le maintenant pendant 10 ans, mais nous exposons chaque année l'investissement à un résultat aléatoire de 10, 6% en moyenne, avec un écart type de 18, 1%. Cet essai a été effectué 500 fois, ce qui en fait un test dit de Monte Carlo. Le prix final de 500 essais est présenté ci-dessous:

Une distribution normale est montrée en toile de fond uniquement pour mettre en évidence les résultats de prix très non normaux. Techniquement, les prix finaux sont log-normaux (ce qui signifie que si l’axe des x était converti en log naturel de x, la distribution paraissait plus normale). Le fait est que plusieurs prix sont sur la droite: sur 500 essais, six résultats ont donné un résultat de 700 $ en fin de période! Ces quelques précieux résultats ont réussi à gagner plus de 20% en moyenne, chaque année, sur 10 ans. Du côté gauche, comme un solde dégressif réduit les effets cumulatifs des pertes en pourcentage, nous n’avons obtenu qu’une poignée de résultats finaux inférieurs à 50 dollars. Pour résumer une idée difficile, nous pouvons dire que les rendements d'intervalle - exprimés en termes de pourcentage - sont normalement distribués, mais que les résultats finaux du prix sont log-normalement distribués.

VOIR: Modèles multivariés: l'analyse de Monte Carlo

Enfin, une autre conclusion de nos essais est cohérente avec les "effets d'érosion" de la volatilité: si votre investissement gagne exactement la moyenne chaque année, vous détiendrez environ 273 $ à la fin (10, 6% composé sur 10 ans). Mais dans cette expérience, notre gain total prévu était plus proche de 250 $. En d'autres termes, le gain annuel moyen (arithmétique) était de 10, 6%, mais le gain cumulatif (géométrique) était moindre.

Il est essentiel de garder à l’esprit que notre simulation suppose une marche aléatoire: elle suppose que les retours d’une période à l’autre sont totalement indépendants. Nous n’avons absolument pas prouvé cela, et ce n’est pas une hypothèse triviale. Si vous pensez que les retours suivent les tendances, vous dites techniquement qu'ils montrent une corrélation série positive. Si vous pensez qu'ils reviennent à la moyenne, vous dites techniquement qu'ils montrent une corrélation série négative. Aucune de ces positions n’est compatible avec l’indépendance.

Le résultat final
La volatilité est l'écart type annualisé des rendements. Dans le cadre théorique traditionnel, non seulement il mesure le risque, mais il influe également sur les attentes en matière de rendements à long terme (sur plusieurs périodes). En tant que tel, il nous demande d’accepter les hypothèses douteuses selon lesquelles les retours sur intervalles sont normalement distribués et indépendants. Si ces hypothèses sont vraies, la forte volatilité est une arme à double tranchant: elle érode le rendement attendu à long terme (elle réduit la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique), mais elle vous offre également plus de chances de réaliser des gains importants.

VOIR: Volatilité implicite: Achetez bas et vendez haut