Modèle de tarification des options binomiales
Le modèle de tarification des options binomiales est une méthode de valorisation des options développée en 1979. Le modèle de tarification des options binomial utilise une procédure itérative, permettant la spécification de nœuds ou de points dans le temps entre la date d'évaluation et la date d'expiration de l'option.
Points clés à retenir
- Le modèle binomial d'évaluation des options attribue de la valeur aux options en utilisant une approche itérative utilisant plusieurs périodes pour évaluer les options américaines.
- Avec le modèle, il existe deux résultats possibles pour chaque itération: un mouvement ascendant ou descendant qui suit un arbre binomial.
- Le modèle est intuitif et est utilisé plus fréquemment dans la pratique que le célèbre modèle Black-Scholes.
Le modèle réduit les possibilités de changement de prix et supprime la possibilité d'arbitrage. Un exemple simplifié d'arbre binomial pourrait ressembler à ceci:
Principes de base du modèle de tarification des options binomiales
Avec les modèles de prix d'options binomiales, les hypothèses sont qu'il existe deux résultats possibles, d'où la partie binomiale du modèle. Avec un modèle de tarification, les deux résultats sont une augmentation ou une diminution. L'avantage majeur d'un modèle de tarification des options binomiales est leur simplicité mathématique. Pourtant, ces modèles peuvent devenir complexes dans un modèle multi-période.
Contrairement au modèle Black-Scholes, qui fournit un résultat numérique basé sur des entrées, le modèle binomial permet le calcul de l'actif et l'option pour plusieurs périodes ainsi que la plage de résultats possibles pour chaque période (voir ci-dessous).
L'avantage de cette vue multi-période est que l'utilisateur peut visualiser l'évolution du prix des actifs d'une période à l'autre et évaluer l'option en fonction de décisions prises à différents moments. Pour une option basée aux États-Unis, qui peut être exercée à tout moment avant la date d'expiration, le modèle binomial peut donner une idée du moment où l'exercice de l'option peut être conseillé et du moment où elle devrait être conservée plus longtemps. En examinant l'arbre de valeurs binomial, un commerçant peut déterminer à l'avance quand une décision sur un exercice peut être prise. Si l'option a une valeur positive, il est possible de faire de l'exercice alors que, si l'option a une valeur inférieure à zéro, elle devrait être conservée plus longtemps.
Calcul du prix avec le modèle binomial
La méthode de base pour calculer le modèle d’option binomiale consiste à utiliser la même probabilité de réussite et d’échec jusqu’à expiration de l’option. Toutefois, un opérateur peut incorporer différentes probabilités pour chaque période en fonction de nouvelles informations obtenues au fil du temps.
Un arbre binomial est un outil utile lors de la détermination du prix des options américaines et des options intégrées. Sa simplicité est à la fois son avantage et son inconvénient. L’arbre est facile à modéliser mécaniquement, mais le problème réside dans les valeurs possibles que l’actif sous-jacent peut prendre au cours d’une période donnée. Dans un modèle d'arborescence binomiale, l'actif sous-jacent ne peut valoir que l'une des deux valeurs possibles, ce qui n'est pas réaliste, car les actifs peuvent valoir n'importe quel nombre de valeurs dans une plage donnée.
Par exemple, il peut y avoir une chance sur 50 que le prix de l'actif sous-jacent augmente ou diminue de 30% sur une période donnée. Pour la deuxième période, toutefois, la probabilité d’une augmentation du prix de l’actif sous-jacent pourrait atteindre 70/30.
Par exemple, si un investisseur évalue un puits de pétrole, il n'est pas certain de la valeur de ce puits, mais il y a 50% de chances que le prix augmente. Si les prix du pétrole augmentent au cours de la période 1, rendant le puits de pétrole plus précieux et que les fondamentaux du marché laissent entrevoir une augmentation continue des prix du pétrole, la probabilité d’une nouvelle hausse du prix pourrait maintenant être de 70%. Le modèle binomial permet cette flexibilité; le modèle de Black-Scholes ne le fait pas.
Exemple concret de modèle de tarification des options binomiales
Un exemple simplifié d'arborescence binomiale ne comporte qu'une étape. Supposons qu’il existe un stock dont le prix est fixé à 100 USD par action. Dans un mois, le prix de ce stock augmentera de 10 USD ou baissera de 10 USD, ce qui crée la situation suivante:
- Prix de l'action = 100 $
- Cours de l'action en un mois (à la hausse) = 110 $
- Cours de l'action en un mois (à la baisse) = 90 $
Ensuite, supposons qu’une option d’achat, qui expire dans un mois et a un prix d’exercice de 100 $, est disponible pour cette action. À l'état actif, cette option d'achat vaut 10 $, et à l'état désactivé, elle vaut 0 $. Le modèle binomial peut calculer le prix actuel de l’option d’achat.
À des fins de simplification, supposons qu'un investisseur achète une moitié d'actions et vende ou vend une option d'achat. L'investissement total aujourd'hui est le prix d'une demi-part moins le prix de l'option. Les retombées possibles à la fin du mois sont les suivantes:
- Coût aujourd'hui = 50 $ - prix de l'option
- Valeur du portefeuille (état ascendant) = 55 $ - maximum (110 $ - 100 $, 0) = 45 $
- Valeur du portefeuille (en baisse) = 45 $ - maximum (90 $ - 100 $, 0) = 45 $
Le rendement du portefeuille est égal quelle que soit l'évolution du cours des actions. Compte tenu de ce résultat, et en l'absence d'opportunités d'arbitrage, un investisseur devrait obtenir le taux sans risque au cours du mois. Le coût actuel doit être égal au gain actualisé au taux sans risque pendant un mois. L'équation à résoudre est donc la suivante:
- Prix de l’option = 50 $ - 45 $ xe ^ (- taux sans risque x T), où e est la constante mathématique 2, 7183.
En supposant que le taux sans risque est de 3% par an et que T est égal à 0, 0833 (un divisé par 12), le prix de l'option d'achat aujourd'hui est de 5, 11 $.
En raison de sa structure simple et itérative, le modèle de tarification des options binomiales présente certains avantages uniques. Par exemple, dans la mesure où il fournit un flux d’évaluations pour un dérivé pour chaque nœud sur une période donnée, il est utile pour évaluer les dérivés tels que les options américaines, qui peuvent être exécutés à tout moment entre la date d’achat et la date d’expiration. Il est également beaucoup plus simple que d’autres modèles de tarification tels que le modèle Black-Scholes.
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