Calcul de la valeur présente et future des rentes

À un moment donné de votre vie, vous avez peut-être dû effectuer une série de paiements fixes sur une période donnée, tels que des paiements de loyer ou de voiture, ou vous avez reçu une série de paiements sur une période donnée, tels que des intérêts d'obligations ou CD. Celles-ci sont appelées rentes (utilisation plus générique du mot - à ne pas confondre avec le produit financier spécifique appelé rente, bien que les deux soient liées). Si vous comprenez la valeur temps de l'argent, vous êtes prêt à en apprendre davantage sur les rentes et sur la manière dont leurs valeurs actuelles et futures sont calculées.

Que sont les rentes?

Les rentes consistent essentiellement en une série de paiements fixes exigés de votre part ou qui vous sont versés à une fréquence déterminée sur une période donnée. Les fréquences de paiement peuvent être annuelles, semestrielles (deux fois par an), trimestrielles et mensuelles. Il existe deux types de base de rentes: les rentes ordinaires et les rentes dues.

• Rente ordinaire: les paiements sont requis à la fin de chaque période. Par exemple, les obligations simples effectuent généralement des paiements de coupon tous les six mois jusqu'à la date d'échéance de l'obligation.
• Rente due: les paiements sont requis au début de chaque période. Le loyer est un exemple de rente due. Vous devez généralement payer un loyer lorsque vous emménagez pour la première fois au début du mois, puis le premier de chaque mois par la suite.

Les calculs de la valeur actuelle et future des rentes ordinaires et des rentes exigibles étant légèrement différents, nous les examinerons séparément.

Rentes ordinaires

Calcul de la valeur future

Si vous savez combien vous pouvez investir par période pour une certaine période, la valeur future (FV) d'une formule de rente ordinaire est utile pour déterminer le montant que vous auriez à l'avenir. Si vous effectuez des paiements sur un prêt, la valeur future est utile pour déterminer le coût total du prêt. Si vous savez combien vous prévoyez d'investir chaque année et le taux de rendement fixe de vos garanties de rente - ou, pour les prêts, le montant de vos versements et le taux d'intérêt indiqué - vous pouvez facilement déterminer la valeur de votre compte à tout moment. l'avenir.

Passons maintenant à l'exemple 1. Considérons le calendrier de flux de trésorerie de la rente suivant:

Pour calculer la valeur future de la rente, nous devons calculer la valeur future de chaque flux de trésorerie. Supposons que vous recevez 1 000 $ chaque année pour les cinq prochaines années et que vous investissez chaque versement à un taux d'intérêt de 5%. Le diagramme suivant montre combien vous auriez à la fin de la période de cinq ans:

Comme nous devons ajouter la valeur future de chaque paiement, vous avez peut-être remarqué que si vous disposiez d'une rente ordinaire comportant de nombreux flux de trésorerie, le calcul de toutes les valeurs futures, puis leur addition, prendrait beaucoup de temps. Heureusement, les mathématiques fournissent une formule qui sert de raccourci pour trouver la valeur cumulée de tous les flux de trésorerie reçus d'une annuité ordinaire:

Rente ordinaire = C × [(1 + i) n − 1i] où: C = Flux de trésorerie par période = Taux d’intérêt = Nombre de paiements \ begin {aligné} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinaire ~ Rente }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {C} = \ text {Flux de trésorerie par période} \\ & i = \ text {Taux d'intérêt} \\ & n = \ text {Nombre de paiements} \\ \ end {aligné} Annuité FVOrdinaire = C × [i (1 + i) n − 1] où: C = Flux de trésorerie par périodei = Ratio d’intérêts = Nombre de paiements

En utilisant la formule ci-dessus pour l'exemple 1 ci-dessus, voici le résultat:

Annuité FVO = 1 000 $ × [(1 + 0, 05) 5-10, 05] = 1 000 $ × [5, 53] \ begin {aligné} \ text {FV} _ {\ text {Ordinaire ~ Annuité}} & = 1000 $ \ fois \ gauche [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {aligné} Anniversaire FVOrdinaire = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1 000 $ × [5, 53]

Calcul de la valeur actuelle

Notez que la différence d'un cent entre 5 525, 64 $ et 5 525, 63 $ est due à une erreur d'arrondi dans le premier calcul. Chaque valeur du premier calcul doit être arrondie au cent le plus proche - plus vous devez arrondir les chiffres dans un calcul, plus les erreurs d'arrondi sont probables. Ainsi, la formule ci-dessus fournit non seulement un raccourci pour trouver le FV d'une rente ordinaire, mais donne également un résultat plus précis.

La valeur actuelle d'une annuité est simplement la valeur actuelle de tous les revenus générés par cet investissement dans le futur. Ce calcul repose sur le concept de la valeur temporelle de l'argent, selon lequel un dollar vaut désormais plus qu'un dollar gagné dans le futur. Pour cette raison, les calculs de valeur actuelle utilisent le nombre de périodes sur lesquelles le revenu est généré pour actualiser la valeur des paiements futurs.

Si vous souhaitez déterminer la valeur actuelle d'une série de paiements futurs, vous devez utiliser la formule qui calcule la valeur actuelle (PV) d'une rente ordinaire. C'est la formule que vous utiliseriez dans le cadre du calcul du prix d'une obligation. Le PV d'une annuité ordinaire calcule la valeur actuelle des paiements de coupon que vous recevrez ultérieurement.

Pour l'exemple 2, nous utiliserons le même tableau des flux de trésorerie des annuités que dans l'exemple 1. Pour obtenir la valeur actualisée totale, nous devons prendre la valeur actuelle de chaque paiement futur et, comme dans l'exemple 1, ajouter le flux de trésorerie ensemble.

Encore une fois, le calcul et l’ajout de toutes ces valeurs prendront beaucoup de temps, surtout si nous attendons de nombreux paiements futurs. Bien que de nombreux calculateurs en ligne permettent de déterminer la valeur actuelle d’une rente, la formule d’une rente régulière n’est pas trop compliquée à calculer manuellement si nous utilisons un raccourci mathématique pour la PV d’une rente ordinaire.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinaire ~ Annuité}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] Annuité PVOrdinary = C × [i1− (1 + i) −n]

La formule nous fournit le PV en quelques étapes faciles. Voici le calcul de la rente représentée dans le schéma de l'exemple 2:

Annuité PV = 1 000 $ × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1 000 $ × [4, 33] \ begin {aligné} \ text {PV} _ {\ text {Ordinaire ~ Annuité}} & = \ 1000 $ \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Big] \\ & = \ 1000 $ \ times [4.33] \\ & = \ 4329, 48 \ end {alignés} PVAnrdinary Annuity = 1000 $ × [0.051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 $ × [4.33]

Calcul de la valeur future

Lorsque vous recevez ou payez des flux de trésorerie pour une rente due, votre calendrier de flux de trésorerie apparaît comme suit:

Étant donné que chaque paiement de la série est effectué une période plus tôt, nous devons actualiser la formule une période en arrière. Une légère modification de la formule de calcul de la rente FV d'une rente ordinaire pour les paiements effectués au début de chaque période. Dans l'exemple 3, expliquons pourquoi cette modification est nécessaire lorsque chaque versement de 1 000 $ est effectué au début de la période plutôt qu'à la fin (le taux d'intérêt est toujours de 5%):

Notez que lorsque les paiements sont effectués au début de la période, chaque montant est retenu plus longtemps à la fin de la période. Par exemple, si les 1 000 $ avaient été investis le 1 er janvier plutôt que le 31 décembre de chaque année, le dernier versement effectué avant la valorisation de notre investissement à la fin des cinq années (le 31 décembre) aurait été effectué un an auparavant (le 1 er janvier) plutôt que le même jour où il est évalué. La formule de la valeur future de la rente se lirait alors comme suit:

FVAnnuité due = C × [(1 + i) n-1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Rente due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuité due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Donc,

FVAnnuity Due = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 $ × 5, 53 × 1, 05 \ begin {aligné} FV _ {\ text {Annuité due}} & = \ 1000 $ \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = 5801, 91 $ \ end { aligné} FVAnnuité due = 1000 $ × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1000 $ × 5, 53 × 1, 05

Rente due

Calcul de la valeur actuelle

Pour la valeur actuelle d'une formule de rente due, nous devons escompter la formule une période à terme car les paiements sont conservés pendant une période plus courte. Lors du calcul de la valeur actuelle, nous supposons que le premier paiement a été effectué aujourd'hui.

Nous pourrions utiliser cette formule pour calculer la valeur actuelle de vos paiements de loyer futurs tels que spécifiés dans un contrat de location que vous signez avec votre propriétaire. Supposons que vous payez votre premier loyer (voir l'exemple 4 ci-dessous) au début du mois et que vous évaluez la valeur actuelle de votre contrat de location de cinq mois le même jour. Votre calcul de la valeur actuelle fonctionnerait comme suit:

Bien sûr, nous pouvons utiliser un raccourci de formule pour calculer la valeur actuelle d’une rente due:

PVAnnuité due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuité due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuité due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Donc,

PVAnnuité due = 1000 $ × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 $ × 4, 33 × 1, 05 \ begin {aligné} PV _ {\ text {Annuité due}} & = \ 1000 $ \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ end {aligné} PVAnnuité due = 1 000 $ × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1 000 $ × 4, 33 × 1, 05

Rappelons que la valeur actuelle d’une rente ordinaire correspondait à 4 329, 48 $. La valeur actuelle d'une rente ordinaire est inférieure à celle d'une rente due, car plus nous actualisons un paiement futur, plus sa valeur actuelle est basse: chaque paiement ou chaque flux de trésorerie d'une rente ordinaire survient une période ultérieure.

La valeur temporelle de l'argent

Le calcul de la valeur future est basé sur le concept de la valeur temporelle de l'argent. Cela signifie simplement qu'un dollar gagné aujourd'hui vaut plus qu'un dollar gagné demain, car les fonds que vous contrôlez maintenant peuvent être investis et générer des intérêts au fil du temps. Par conséquent, la valeur future d'une rente est supérieure à la somme de tous vos investissements, car ces contributions ont généré des intérêts au fil du temps. Par exemple, la valeur future de 1 000 $ investie aujourd'hui à 10% est de 1 100 $ dans un an. Un dollar vaut aujourd'hui 1, 10 dollar par an en raison de la valeur temporelle de l'argent.

Supposons que vous versez des versements annuels de 5 000 $ à votre rente ordinaire pendant 15 ans. Il gagne 9% d'intérêt, composé annuellement.

FV = 5 000 $ × {((1 + 0, 09) 15) −1) 0, 09} = 5 000 $ × {((1.0915) −1) 0, 09} = 5 000 $ × 2, 642 begin 0, 09 \ begin {aligné} FV & = \ 5 000 $ \ fois \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5 000 $ \ fois \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5, 000 $ \ fois 2, 642 \ div 0.09 \\ & = \ 5000 $ \ times \ 146, 804, 58 $ \ end {aligné} FV = 5 000 $ × {((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5 000 $ × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = 5 000 $ × 2, 642 ÷ 0, 09

Sans le cumul des intérêts, votre série de 5 000 dollars de contributions ne vaut que 75 000 dollars au bout de 15 ans. Au lieu de cela, avec les intérêts composés, la valeur future de votre rente est presque deux fois celle de 146 804, 58 $.

Pour calculer la valeur future d'une annuité due, il vous suffit de multiplier la valeur future ordinaire par 1 + i (le taux d'intérêt). Dans l'exemple ci-dessus, la valeur future d'une annuité due avec les mêmes paramètres est simplement 146 804, 58 $ x (1 + 0, 09), ou 160 016, 99 $.

Considérations relatives à la valeur actuelle

Lors du calcul de la valeur actuelle d'une annuité, il est important que toutes les variables soient cohérentes. Si la rente génère des paiements annuels, par exemple, le taux d'intérêt doit également être exprimé en tant que taux annuel. Si la rente génère des paiements mensuels, par exemple, le taux d'intérêt doit également être exprimé en tant que taux mensuel.

Supposons qu'une rente ait un taux d'intérêt de 10% générant des paiements annuels de 3 000 $ pour les 15 prochaines années. La valeur actuelle de cette annuité est:

= 3 000 $ × (((1− (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = 3 000 $ × ((1 − .239392) 0, 1) = 3 000 $ × (0, 760608 0, 1) = 3 000 $ à 7, 660608 \ begin {aligné } & = \ 3000 $ \ times (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ 3000 $ \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ 3000 $ \ times (0.760608 \ div 0.1) \\ & = 3 000 \ times 7.60608 \\ & = \ 22 818 \ end {alignés} = 3 000 $ × (((1− (1 + 0.1) −15)) 0, 1) = 3 000 $ × ((1 − .239392) 0, 1) = 3 000 $ × (0, 760608 0, 1) = 3 000 $ × 7, 60608

Valeur actuelle d'une rente

Le résultat final

Vous pouvez maintenant voir comment les rentes affectent la manière dont vous calculez la valeur présente et future d’une somme d’argent. N'oubliez pas que les fréquences de paiement, ou le nombre de paiements, et l'heure à laquelle ces paiements sont effectués (que ce soit au début ou à la fin de chaque période de paiement) sont toutes des variables que vous devez prendre en compte dans vos calculs.

Lors de la planification de la retraite, il est important d’avoir une bonne idée du revenu sur lequel vous pouvez compter chaque année. Bien qu'il soit relativement facile de savoir combien vous investissez dans les régimes de retraite parrainés par l'employeur, les comptes de retraite individuels (IRA) et les rentes, il n'est pas toujours aussi facile de savoir combien vous obtiendrez. Heureusement, en ce qui concerne les rentes à taux fixe ou les régimes investis dans des titres à taux fixe, il existe un moyen simple de calculer le montant que vous pouvez espérer disposer après la retraite en fonction du montant que vous avez placé dans le compte pendant vos années de travail. .