Comprendre la valeur temporelle de l'argent

Toutes nos félicitations!!! Vous avez gagné un prix en argent! Vous avez deux options de paiement: A: Recevez 10 000 $ maintenant ou B: Recevez 10 000 $ dans trois ans. Quelle option choisiriez-vous?

Quelle est la valeur temporelle de l'argent?

Si vous êtes comme la plupart des gens, vous choisiriez de recevoir les 10 000 $ maintenant. Après tout, trois ans, c'est long à attendre. Pourquoi une personne rationnelle retarderait-elle le paiement dans l’avenir alors qu’elle pourrait avoir le même montant maintenant? Pour la plupart d'entre nous, prendre l'argent au présent est tout simplement instinctif. Donc, au niveau le plus élémentaire, la valeur temporelle de l'argent montre que toutes choses étant égales par ailleurs, il semble préférable d'avoir de l'argent maintenant plutôt que plus tard.

Mais pourquoi est-ce? Un billet de 100 $ a la même valeur qu'un billet de 100 $ dans un an, n'est-ce pas? En réalité, bien que le projet de loi reste le même, vous pouvez faire beaucoup plus avec l’argent si vous l’avez maintenant car avec le temps, vous pourrez gagner plus d’intérêts sur votre argent.

Revenons à notre exemple: en recevant 10 000 $ aujourd'hui, vous êtes sur le point d'augmenter la valeur future de votre argent en investissant et en gagnant des intérêts sur une période donnée. Pour l'option B, vous n'avez pas le temps, et le paiement reçu dans trois ans serait votre valeur future. Pour illustrer notre propos, nous avons fourni un calendrier:

Si vous choisissez l'option A, votre valeur future sera de 10 000 $, plus tout intérêt acquis au cours des trois années. En revanche, la valeur future de l’option B ne serait que de 10 000 $. Alors, comment pouvez-vous calculer exactement combien d’Option A plus, par rapport à Option B? Nous allons jeter un coup d'oeil.

Bases de la valeur future

Si vous choisissez l'option A et que vous investissez le montant total au taux annuel simple de 4, 5%, la valeur future de votre investissement à la fin de la première année est de 10 450 $. Nous obtenons cette somme en multipliant le capital de 10 000 $ par le taux d'intérêt de 4, 5%, puis en ajoutant les intérêts gagnés au capital:

10 000 $ × 0, 045 = 450 $ \ début {aligné} & \ 10 000 $ \ fois 0, 045 = \ 450 $ \\ \ end {aligné} 10 000 $ × 0, 045 = 450 $

450 $ + 10 000 $ = 10 450 $ \ begin {aligné} & \ 450 $ + \ 10 000 $ = \ 10 450 $ \\ \ end {aligné} 450 $ + 10 000 $ = 10 450 $

Vous pouvez également calculer le montant total d'un investissement d'un an avec une simple manipulation de l'équation ci-dessus:

OE = (10 000 $ × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ où: OE = Équation originale \ begin {aligné} & \ text {OE} = (\ 10 000 $ \ fois 0, 045) + \ 10 000 $ = \ 10 450 $ \\ & \ textbf {where :} \\ & \ text {OE} = \ text {Equation d'origine} \\ \ end {aligné} OE = (10 000 $ × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ où: OE = équation d'origine

Manipulation = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $ \ begin {aligné} & \ text {Manipulation} = \ 10 000 $ \ fois [(1 \ times 0, 045) + 1] = \ 10 450 $ \\ \ end { aligné} Manipulation = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $

Équation finale = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 $ \ begin {alignée} & \ text {Équation finale} = \ 10 000 \ fois (0, 045 + 1) = \ 10 1050 $ \\ \ end {alignée} Équation finale = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 $

L'équation manipulée ci-dessus est simplement une suppression de la variable identique de 10 000 $ (le montant principal) en divisant l'équation originale par 10 000 $.

Si les 10 450 dollars restants dans votre compte de placement à la fin de la première année n'étaient pas modifiés et que vous les investissiez à 4, 5% pendant une autre année, combien en auriez-vous? Pour calculer cela, prenez le montant de 10 450 $ et multipliez-le par 1, 045 (0, 045 + 1). Au bout de deux ans, vous auriez 10 920, 25 $.

Calcul de la valeur future

Le calcul ci-dessus est donc équivalent à l'équation suivante:

Valeur future = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ begin {aligné} & \ text {Valeur future} = \ 10 000 $ \ fois (1 + 0, 045) \ fois (1 + 0, 045) \\ \ end {aligné} valeur future = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Repensez au cours de mathématiques et à la règle des exposants, qui stipule que la multiplication de termes similaires équivaut à l'ajout de leurs exposants. Dans l'équation ci-dessus, les deux termes similaires sont (1+ 0.045) et l'exposant de chacun d'eux est égal à 1. Par conséquent, l'équation peut être représentée comme suit:

Valeur future = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 2 \ begin {aligné} & \ text {Valeur future} = \ 10 000 $ \ fois (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {aligné} Valeur future = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 2

Nous pouvons voir que l'exposant est égal au nombre d'années pour lesquelles l'argent rapporte un intérêt dans un investissement. Ainsi, l'équation pour calculer la valeur future de l'investissement sur trois ans ressemblerait à ceci:

Valeur future = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 3 \ begin {alignés} & \ text {Valeur future} = \ 10 000 $ \ fois (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {alignés} Valeur future = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 3

Cependant, il n'est pas nécessaire de continuer à calculer la valeur future après la première année, puis la deuxième année, puis la troisième année, etc. Vous pouvez tout comprendre en une fois, pour ainsi dire. Si vous connaissez le montant actuel de votre investissement dans un investissement, son taux de rendement et le nombre d'années pendant lesquelles vous souhaitez le conserver, vous pouvez calculer la valeur future de ce montant. C'est fait avec l'équation:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valeur futurePV = Valeur actuelle (montant initial en argent) i = Taux d'intérêt par période = Nombre de périodes \ begin {alignées} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valeur future} \\ & \ text {PV} = \ text {Valeur actuelle ( montant initial de l'argent)}} \\ & i = \ text {Taux d'intérêt par période} \\ & n = \ text {Nombre de périodes} \\ \ end {aligné} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valeur futurePV = valeur actuelle (montant initial) i = taux d'intérêt par période = nombre de périodes

Notions de base sur la valeur actuelle

Si vous recevez 10 000 dollars aujourd’hui, sa valeur actuelle serait bien sûr de 10 000 dollars, car c’est la valeur actuelle de votre investissement, si vous le dépensiez aujourd’hui. Si vous receviez 10 000 dollars en un an, la valeur actuelle de ce montant ne serait pas de 10 000 dollars car vous ne les avez pas entre les mains, dans le présent.

Pour connaître la valeur actuelle des 10 000 USD que vous recevrez ultérieurement, vous devez prétendre que ces 10 000 USD correspondent à la valeur future totale d'un montant que vous avez investi aujourd'hui. En d’autres termes, pour déterminer la valeur actuelle des futurs 10 000 dollars, nous devons déterminer le montant que nous devrions investir aujourd’hui pour pouvoir recevoir ces 10 000 dollars en un an.

Pour calculer la valeur actuelle ou le montant que nous devrions investir aujourd'hui, vous devez soustraire l'intérêt accumulé (hypothétique) des 10 000 $. Pour ce faire, nous pouvons escompter le montant du paiement futur (10 000 $) au taux d’intérêt de la période. Essentiellement, tout ce que vous faites est de réorganiser l'équation de la valeur future ci-dessus afin que vous puissiez résoudre la valeur actuelle (PV). L'équation de valeur future ci-dessus peut être récrite comme suit:

PV = FV (1 + i) n \ begin {aligné} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {aligné} PV = (1 + i) nFV

Une autre équation serait:

PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = Valeur actuelle (montant initial en argent) FV = Valeur futurei = Taux d’intérêt par période = Nombre de périodes \ begin {aligné} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valeur actuelle (montant initial de l'argent)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valeur future} \\ & i = \ text {Taux d'intérêt par période} \\ & n = \ text {Nombre de périodes} \\ \ end {aligné} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = valeur actuelle (montant initial en argent) FV = valeur futurei = taux d'intérêt par période = nombre de périodes

Calcul de la valeur actuelle

Revenons en arrière sur les 10 000 $ offerts dans l’option B. Rappelez-vous que les 10 000 $ à recevoir dans trois ans sont vraiment identiques à la valeur future d’un investissement. S'il nous restait un an avant d'obtenir l'argent, nous rembourserions le paiement d'un an. En utilisant notre formule de valeur actuelle (version 2), à la marque actuelle de deux ans, la valeur actuelle des 10 000 $ à recevoir dans une année serait de 10 000 $ x (1 + .045) ^-1 = 9569, 38 $.

Veuillez noter que si nous atteignions la marque d'un an aujourd'hui, les 9 569, 38 $ susmentionnés seraient considérés comme la valeur future de notre investissement dans un an.

En continuant, à la fin de la première année, nous nous attendions à recevoir le versement de 10 000 dollars dans deux ans. À un taux d’intérêt de 4, 5%, le calcul de la valeur actuelle d’un paiement de 10 000 USD prévu dans deux ans serait de 10 000 USD x (1 + 0, 045) ^-2 = 9157, 30 USD.

Bien sûr, en raison de la règle des exposants, nous n’avons pas à calculer chaque année la valeur future de l’investissement, en tenant compte du montant de l’investissement de 10 000 $ effectué la troisième année. Nous pourrions formuler l'équation de manière plus concise et utiliser les 10 000 $ comme VF. Voici comment calculer la valeur actuelle des 10 000 USD attendus d’un investissement sur trois ans et rapportant 4, 5%:

8 762, 97 $ = 10 000 $ × (1 + .045) −3 \ begin {aligné} & \ 8 762, 97 $ = \ 10 000 \ fois (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {aligné} 8 762, 97 $ = 10 000 $ × 1 + .045) −3

Ainsi, la valeur actuelle d'un paiement futur de 10 000 dollars équivaut à 8 762, 97 dollars aujourd'hui si les taux d'intérêt sont de 4, 5% par an. En d’autres termes, choisir l’option B équivaut à investir 8 762, 97 $ maintenant et à l’investir pendant trois ans. Les équations ci-dessus illustrent le fait que l’option A est préférable, non seulement parce qu’elle vous offre de l’argent actuellement, mais aussi parce qu’elle vous offre 1 237, 03 $ (plus 10 000 $ - 8 762, 97 $) d’argent! De plus, si vous investissez les 10 000 $ que vous recevez de l’option A, votre choix vous donne une valeur future supérieure de 1 411, 66 $ (11 411, 66 $ à 10 000 $) à la valeur future de l’option B.

Valeur actuelle d'un paiement futur

Let's up the ante sur notre offre. Que faire si le futur paiement est supérieur au montant que vous recevrez immédiatement? Supposons que vous puissiez recevoir 15 000 $ aujourd'hui ou 18 000 $ dans quatre ans. La décision est maintenant plus difficile. Si vous choisissez de recevoir 15 000 $ aujourd'hui et d'investir la totalité du montant, vous pouvez vous retrouver avec un montant en espèces inférieur à 18 000 $ sur quatre ans.

Comment décider? Vous pourriez trouver la valeur future de 15 000 $, mais puisque nous vivons toujours dans le présent, trouvons la valeur actuelle de 18 000 $. Cette fois, nous supposerons que les taux d’intérêt sont actuellement de 4%. Rappelez-vous que l'équation de la valeur actuelle est la suivante:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {aligné} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {aligné} PV = FV × (1 + i) −n

Dans l'équation ci-dessus, tout ce que nous faisons, c'est actualiser la valeur future d'un investissement. En utilisant les chiffres ci-dessus, la valeur actuelle d'un paiement de 18 000 $ sur quatre ans correspondrait à 18 000 $ x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 $.

D'après le calcul ci-dessus, nous savons maintenant que notre choix aujourd'hui consiste à choisir entre 15 000 $ et 15 386, 48 $. Bien sûr, nous devrions choisir de reporter le paiement de quatre ans!

Le résultat final

Ces calculs démontrent que le temps est littéralement de l'argent - la valeur de l'argent que vous avez maintenant n'est pas la même que celle qui le sera à l'avenir et vice versa. Il est donc important de savoir comment calculer la valeur temporelle de l’argent afin de pouvoir distinguer la valeur des investissements qui vous rapportent à des moments différents. (Pour une lecture connexe, voir "Valeur temporelle de l'argent et du dollar")