Décomposer le modèle binomial pour valoriser une option

Dans le monde financier, les modèles d'évaluation des options de Black-Scholes et des binômes sont deux des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Les deux sont utilisés pour évaluer une option, et chacun a ses propres avantages et inconvénients.

Certains des avantages de base du modèle binomial sont les suivants:

• une vue sur plusieurs périodes
• transparence
• capacité à incorporer des probabilités

Dans cet article, nous explorerons les avantages d'utiliser le modèle binomial au lieu du modèle Black-Scholes et fournirons quelques étapes de base pour développer le modèle et expliquerons comment il est utilisé.

Vue à plusieurs périodes

Le modèle binomial fournit une vue multi-période du prix de l'actif sous-jacent ainsi que du prix de l'option. Contrairement au modèle Black-Scholes, qui fournit un résultat numérique basé sur des entrées, le modèle binomial permet le calcul de l'actif et l'option pour plusieurs périodes ainsi que la plage de résultats possibles pour chaque période (voir ci-dessous).

L'avantage de cette vue multi-période est que l'utilisateur peut visualiser l'évolution du prix des actifs d'une période à l'autre et évaluer l'option en fonction de décisions prises à différents moments. Pour une option basée aux États-Unis, qui peut être exercée à tout moment avant la date d'expiration, le modèle binomial peut fournir des indications sur le moment où l'exercice de l'option peut être conseillé et le moment où il doit être conservé plus longtemps. En examinant l'arbre de valeurs binomial, un commerçant peut déterminer à l'avance quand une décision sur un exercice peut être prise. Si l'option a une valeur positive, il est possible de faire de l'exercice alors que, si l'option a une valeur inférieure à zéro, elle devrait être conservée plus longtemps.

Transparence

La capacité du modèle binomial à assurer la transparence de la valeur sous-jacente de l'actif et de l'option au fil du temps est étroitement liée à l'examen multi-période. Le modèle Black-Scholes a cinq entrées:

1. Le taux sans risque
2. Le prix d'exercice
3. Le prix actuel de l'actif
4. Temps de maturité
5. La volatilité implicite du prix de l'actif

Lorsque ces points de données sont entrés dans un modèle Black-Scholes, le modèle calcule une valeur pour l'option, mais les impacts de ces facteurs ne sont pas révélés d'une période à l'autre. Avec le modèle binomial, un opérateur peut voir l'évolution du prix de l'actif sous-jacent d'une période à l'autre et la variation correspondante du prix de l'option.

Incorporer des probabilités

La méthode de base pour calculer le modèle d’option binomiale consiste à utiliser la même probabilité de réussite et d’échec jusqu’à expiration de l’option. Toutefois, un opérateur peut incorporer différentes probabilités pour chaque période en fonction de nouvelles informations obtenues au fil du temps.

Par exemple, il peut y avoir une chance sur 50 que le prix de l'actif sous-jacent augmente ou diminue de 30% sur une période donnée. Pour la deuxième période, toutefois, la probabilité d’une augmentation du prix de l’actif sous-jacent pourrait atteindre 70/30. Par exemple, si un investisseur évalue un puits de pétrole, il n'est pas certain de la valeur de ce puits, mais il y a 50% de chances que le prix augmente. Si les prix du pétrole augmentent au cours de la période 1, rendant le puits de pétrole plus précieux et que les fondamentaux du marché laissent entrevoir une augmentation continue des prix du pétrole, la probabilité d’une nouvelle hausse du prix pourrait maintenant être de 70%. Le modèle binomial permet cette flexibilité; le modèle de Black-Scholes ne le fait pas.

Développer le modèle

Le modèle binomial le plus simple comportera deux rendements attendus dont les probabilités s’ajoutent à 100%. Dans notre exemple, il existe deux résultats possibles pour le puits de pétrole à chaque instant. Une version plus complexe pourrait avoir trois résultats différents ou plus, chacun ayant une probabilité d'occurrence.

Pour calculer les rendements par période à partir de l'instant zéro (maintenant), nous devons déterminer la valeur de l'actif sous-jacent dans une période à partir de maintenant. Dans cet exemple, nous supposons ce qui suit:

• Prix ​​de l'actif sous-jacent (P): 500 $
• Prix ​​d'exercice de l'option d'achat (K): 600 $
• Taux sans risque pour la période: 1%
• Changement de prix à chaque période: 30% à la hausse ou à la baisse

Le prix de l'actif sous-jacent est de 500 $ et, en période 1, il peut valoir 650 $ ou 350 $. Ce serait l'équivalent d'une augmentation ou d'une diminution de 30% en une période. Étant donné que le prix d'exercice des options d'achat que nous détenons est de 600 $, si l'actif sous-jacent finit par être inférieur à 600 $, la valeur de l'option d'achat serait de zéro. D'autre part, si l'actif sous-jacent dépasse le prix d'exercice de 600 $, la valeur de l'option d'achat correspondra à la différence entre le prix de l'actif sous-jacent et le prix d'exercice. La formule pour ce calcul est [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] où: P = Prix de l'actif sous-jacentK = Prix de levée d'option d'achat \ begin {aligné} & \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {où:} \\ & P = \ text {Prix de l'actif sous-jacent} \\ & K = \ text {Prix d'exercice des options d'achat} \\ \ end {aligné} max [(P − K), 0] où: P = Prix de l'actif sous-jacentK = Prix d'exercice des options d'achat

Supposons qu'il y a 50% de chance de monter et 50% de chance de tomber. En prenant les valeurs de la période 1 comme exemple, cela est calculé comme suit:

max [(650 $ - 600 $), 0] ∗ 0, 5 + max [(350 $ - 600 $), 0] 0, 5 = 50 $ 0, 5 + $ 0 = 25 $ \ begin {aligné} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0.5+ \ max {\ left [\ left (\ 350 $ - \ 600 $ right), 0 \ right]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0.5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {aligné} max [(650 $ - 600 $), 0] 0, 5 + max [(350 $ - 600 $), 0] 0, 5 = 50 $ 0, 5 + $ 0 = 25 $

Pour obtenir la valeur actuelle de l’option d’achat, nous devons réduire les 25 $ de la période 1 pour les ramener à la période 0, ce qui correspond à

25 $ / (1 + 1%) = 24, 75 $ \ 25 $ / \ gauche (1 + 1 \% \ droite) = \ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = 24, 75 $

Vous pouvez maintenant voir que si les probabilités sont modifiées, la valeur attendue de l'actif sous-jacent changera également. Si la probabilité doit être modifiée, elle peut également être modifiée pour chaque période suivante et ne doit pas nécessairement rester la même.

Le modèle binomial peut être étendu facilement à plusieurs périodes. Bien que le modèle Black-Scholes puisse calculer le résultat d'une date d'expiration étendue, le modèle binomial étend les points de décision à plusieurs périodes.

Utilisations pour le modèle binomial

En plus de son utilisation comme méthode de calcul de la valeur d'une option, le modèle binomial peut également être utilisé pour des projets ou des investissements avec un degré d'incertitude élevé, des décisions de budgétisation en capital et d'allocation de ressources, ainsi que des projets à périodes multiples option intégrée pour continuer ou abandonner le projet à certains moments.

Un exemple simple est un projet impliquant le forage de pétrole. L'incertitude de ce type de projet quant à la présence d'huile dans le sol foré, à la quantité d'huile pouvant être forée, le cas échéant, et au prix auquel l'huile peut être vendue une fois extraite.

Le modèle d’option binomiale peut aider à prendre des décisions à chaque point du projet de forage pétrolier. Par exemple, supposons que nous décidions de forer, mais le puits de pétrole ne sera rentable que si nous trouvons suffisamment de pétrole et que le prix du pétrole dépasse un certain montant. Il faudra une période complète pour déterminer la quantité de pétrole que nous pouvons extraire, ainsi que le prix du pétrole à ce moment-là. Après la première période (une année, par exemple), nous pouvons décider en fonction de ces deux points de données de continuer à forer ou d’abandonner le projet. Ces décisions peuvent être prises de manière continue jusqu’à atteindre un point où il n’ya plus de valeur pour le forage, le puits sera alors abandonné.

Le résultat final

Le modèle binomial offre une vue plus détaillée en permettant une vue multi-période du prix de l'actif sous-jacent et du prix de l'option pour plusieurs périodes, ainsi que la plage de résultats possibles pour chaque période. Alors que le modèle Black-Scholes et le modèle binomial peuvent tous deux être utilisés pour valoriser les options, le modèle binomial a une gamme d'applications plus étendue, est plus intuitif et plus facile à utiliser.