La loi des grands nombres dans le secteur des assurances

Les compagnies d’assurance s’appuient sur la loi des grands nombres pour estimer la valeur et la fréquence des sinistres futurs qu’elles paieront aux assurés. Quand cela fonctionne parfaitement, les compagnies d’assurance exercent une activité stable, les consommateurs paient une prime juste et précise et le système financier dans son ensemble évite de graves perturbations. Cependant, les avantages théoriques de la loi des grands nombres ne tiennent pas toujours dans le monde réel.

Quelle est la loi des grands nombres?

La loi des grands nombres découle de la théorie des probabilités en statistique. Il propose que, lorsque l'échantillon d'observations augmente, la variation autour de l'observation moyenne diminue. En d'autres termes, la valeur moyenne gagne en puissance prédictive.

Par exemple, considérons un essai simple dans lequel quelqu'un retourne un quart. Chaque fois que le quartier atterrit sur ses têtes, la personne enregistre un point. Aucun point n'est enregistré quand il atterrit comme une queue. La valeur attendue d'une pièce de monnaie dans cet essai est de 0, 5 point, car il n'y a que 50% de chances que le trimestre se pose en tête.

Si vous ne jetez la pièce que deux fois, la valeur moyenne pourrait se retrouver loin de la valeur attendue. Les têtes consécutives produisent une valeur moyenne d'un point tandis que deux queues ont une valeur moyenne de zéro point. L'augmentation du nombre d'observations a plus de chances de produire une valeur moyenne plus proche de la valeur attendue. S'il y a 53 têtes et 47 queues pendant 100 retournements, la valeur moyenne serait de 0, 53, ce qui est très proche de la valeur attendue de 0, 5.

C'est ainsi que fonctionne la loi des grands nombres.

Points clés à retenir

• Selon la loi des grands nombres, la moyenne d'un grand nombre de résultats correspond étroitement à la valeur attendue, et cette différence se réduit au fur et à mesure que de plus en plus de résultats sont introduits.
• En assurance, avec un grand nombre de souscripteurs, la perte réelle par événement sera égale à la perte attendue par événement.
• La loi des grands nombres est moins efficace avec les assurances maladie et incendie dans lesquelles les assurés sont indépendants les uns des autres.
• Avec le grand nombre d'assureurs proposant différents types de couverture, la demande de variétés augmente, ce qui rend la loi des grands nombres moins avantageuse.

Comprendre la loi des grands nombres en assurance

Dans le secteur des assurances, la loi des grands nombres produit son axiome. À mesure que le nombre d'unités d'exposition (titulaires de police) augmente, la probabilité que la perte réelle par unité d'exposition corresponde à la perte attendue par unité d'exposition est plus grande. Pour le dire en termes économiques, il y a des rendements d'échelle dans la production d'assurance.

Concrètement, cela signifie qu'il est plus facile d'établir la prime correcte et de réduire ainsi l'exposition au risque de l'assureur, car davantage de polices sont émises dans une classe d'assurance donnée. Il est préférable que les compagnies d’assurance émettent 500 polices d’assurance incendie plutôt que 150, en supposant une distribution de probabilité stable et indépendante pour les pertes.

Pour le voir autrement, supposons qu'une compagnie d'assurance maladie découvre que cinq personnes sur 150 subiront une blessure grave et coûteuse au cours d'une année donnée. Si l'entreprise n'assure que 10 ou 25 personnes, elle fait face à des risques bien plus grands que si elle pouvait assurer les 150 personnes. La société peut être plus confiante que 150 souscripteurs verseront collectivement des primes suffisantes pour couvrir les réclamations de cinq clients gravement blessés.

Considérations particulières

Aux États-Unis, il y avait près de 6 000 compagnies d'assurance en 2016, selon la National Association of Insurance Commissioners. Certains transporteurs ont plus de succès que d’autres qui offrent des types de couverture identiques ou similaires. S'il y a des rendements d'échelle croissants dans l'assurance, grâce à la loi des grands nombres, alors pourquoi y a-t-il autant de compagnies d'assurance plutôt que quelques géants dominant l'industrie?

Premièrement, toutes les compagnies d’assurance ne sont pas tout aussi compétentes dans le domaine des assurances. Cela comprend le maintien de l'efficacité opérationnelle, le calcul des primes effectives et l'atténuation des risques de perte après le dépôt d'une réclamation. La plupart de ces caractéristiques n’ont pas d’impact sur la loi des grands nombres.

Cependant, la loi des grands nombres perd de son efficacité lorsque les souscripteurs à risque sont indépendants les uns des autres. Cela se voit plus facilement dans les secteurs de la santé et de l’assurance incendie, car les maladies et les incendies peuvent se propager d’un titulaire de police à un autre s’ils ne sont pas maîtrisés de manière adéquate. Ce problème est connu sous le nom de contagion.

Il existe également des risques potentiellement assurables pour lesquels la loi des grands nombres pourrait théoriquement être utile, mais il n'y a pas assez de clients potentiels pour le faire fonctionner. Essayez d’assurer une ville contre les risques de guerre nucléaire ou biologique. Il faudrait des milliers, voire des millions de grandes villes payant des primes pour compenser le coût d'un risque réalisé. Il n'y a pas assez de villes dans le monde pour que cela fonctionne.

Enfin, chaque consommateur d’assurance a une préférence de risque, une préférence temporelle et un prix différencié pour l’assurance. À mesure que la variété des demandes augmente, l'avantage potentiel de la loi des grands nombres diminue car moins de personnes souhaitent des types de couverture similaires.