Intérêts composés
L’intérêt composé (ou intérêt composé) est l’intérêt calculé sur le capital initial, qui comprend également l’intérêt accumulé des périodes précédentes d’un dépôt ou d’un prêt. Considéré comme étant originaire d'Italie au XVIIe siècle, l'intérêt composé peut être considéré comme un «intérêt sur intérêt» et permettra à une somme de croître plus rapidement que l'intérêt simple, qui est calculé uniquement sur le montant en principal.
Points clés à retenir
- L’intérêt composé (ou intérêt composé) est l’intérêt calculé sur le capital initial, qui comprend également l’intérêt accumulé des périodes précédentes d’un dépôt ou d’un prêt.
- Les intérêts composés sont calculés en multipliant le capital initial par un, plus le taux d'intérêt annuel majoré du nombre de périodes composées moins une.
- L’intérêt peut être composé sur n’importe quel calendrier de fréquences, du continu au quotidien ou annuellement.
- Lors du calcul de l'intérêt composé, le nombre de périodes de composition fait une différence significative.
Le taux d'accroissement des intérêts composés dépend de la fréquence de composition, de sorte que plus le nombre de périodes de composition est élevé, plus les intérêts composés sont importants. Ainsi, le montant des intérêts composés accumulés sur 100 $ composé à 10% par an sera inférieur à celui de 100 $ composé à 5%, semestriellement, au cours de la même période. Étant donné que l’effet d’intérêt sur intérêt peut générer des rendements de plus en plus positifs sur la base du montant initial en principal, il a parfois été qualifié de "miracle de l’intérêt composé".
1:59Comprendre l'intérêt composé
Calcul de l'intérêt composé
Les intérêts composés sont calculés en multipliant le capital initial par un, plus le taux d'intérêt annuel majoré du nombre de périodes composées moins une. Le montant total initial du prêt est ensuite soustrait de la valeur résultante.
La formule de calcul de l'intérêt composé est la suivante:
Intérêt composé = montant total du capital et intérêt de la valeur future (ou future) moins le montant du capital à la valeur actuelle (ou actuelle)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Où P = Principal, i = Taux d’intérêt annuel nominal en pourcentage et n = Nombre de périodes de calcul.)
Prenez un prêt de 10 000 $ sur trois ans à un taux d’intérêt de 5%, composé annuellement. Quel serait le montant de l'intérêt ">
Croissance de l'intérêt composé
À l'aide de l'exemple ci-dessus, étant donné que l'intérêt composé prend également en compte l'intérêt accumulé au cours des périodes précédentes, le montant de l'intérêt n'est pas le même pour les trois années, comme il le serait avec l'intérêt simple. Bien que le total des intérêts payables au cours de la période de trois ans de ce prêt soit de 1 576, 25 $, les intérêts à payer à la fin de chaque année sont indiqués dans le tableau ci-dessous.
Périodes de composition
Lors du calcul de l'intérêt composé, le nombre de périodes de composition fait une différence significative. La règle de base est que plus le nombre de périodes de composition est élevé, plus le montant des intérêts composés est élevé.
Le tableau suivant montre la différence que le nombre de périodes de composition peut représenter pour un prêt de 10 000 $ assorti d’un taux d’intérêt annuel de 10% sur une période de 10 ans.
Les intérêts composés peuvent considérablement augmenter les rendements des investissements à long terme. Alors qu'un dépôt de 100 000 $ qui reçoit un intérêt simple de 5% rapporterait 50 000 $ d’intérêt sur 10 ans, l’intérêt composé de 5% sur 10 000 $ s’élèverait à 62 889, 46 $ pour la même période.
Excel Compounding Calculation
Si cela fait longtemps que vous n’êtes pas en mathématiques, ne craignez rien: il existe des outils pratiques pour vous aider à comprendre la composition. De nombreuses calculatrices (à la fois sur ordinateur de poche et sur ordinateur) ont des fonctions d’exposant qui peuvent être utilisées à ces fins. Si des tâches de composition plus complexes surviennent, elles peuvent être réalisées à l'aide de Microsoft Excel - de trois manières différentes.
- La première façon de calculer les intérêts composés consiste à multiplier le nouveau solde de chaque année par le taux d'intérêt. Supposons que vous déposiez 1 000 USD sur un compte d'épargne avec un taux d'intérêt de 5% composé annuellement et que vous souhaitiez calculer le solde sur cinq ans. Dans Microsoft Excel, entrez "Année" dans la cellule A1 et "Solde" dans la cellule B1. Entrez les années 0 à 5 dans les cellules A2 à A7. Le solde pour l'année 0 est de 1 000 dollars. Vous devez donc entrer "1 000" dans la cellule B2. Ensuite, entrez "= B2 * 1.05" dans la cellule B3. Puis entrez "= B3 * 1.05" dans la cellule B4 et continuez ainsi jusqu'à la cellule B7. Dans la cellule B7, le calcul est "= B6 * 1.05". Enfin, la valeur calculée dans la cellule B7 - 1 276, 28 USD - correspond au solde de votre compte d’épargne après cinq ans. Pour trouver la valeur des intérêts composés, soustrayez 1 000 $ de 1 276, 28 $; cela vous donne une valeur de 276, 28 $.
- La deuxième façon de calculer les intérêts composés consiste à utiliser une formule fixe. La formule d'intérêt composé est la suivante ((P * (1 + i) ^ n) - P), où P est le principal, i le taux d'intérêt annuel et n le nombre de périodes. En utilisant les mêmes informations ci-dessus, entrez "Valeur principale" dans la cellule A1 et 1000 dans la cellule B1. Ensuite, entrez "Taux d'intérêt" dans la cellule A2 et ".05" dans la cellule B2. Entrez "Périodes composées" dans la cellule A3 et "5" dans la cellule B3. Vous pouvez maintenant calculer l'intérêt composé dans la cellule B4 en entrant "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1", ce qui vous donne 276, 28 $.
- Une troisième façon de calculer les intérêts composés consiste à créer une fonction macro. Commencez par démarrer Visual Basic Editor, qui se trouve dans l’onglet Développeur. Cliquez sur le menu Insertion, puis sur Module. Ensuite, tapez "Fonction Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double" dans la première ligne. Sur la deuxième ligne, appuyez sur la touche de tabulation et tapez "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P". Sur la troisième ligne du module, entrez "End Function". Vous avez créé une macro de fonction pour calculer le taux d'intérêt composé. En continuant à partir de la même feuille de calcul Excel ci-dessus, entrez "Intérêt composé" dans la cellule A6 et entrez "= Intérêt composé_ (B1, B2, B3)". Cela vous donne une valeur de 276, 28 $, ce qui est cohérent avec les deux premières valeurs.
Utiliser d'autres calculatrices
Comme mentionné ci-dessus, un certain nombre de calculateurs gratuits à intérêts composés sont proposés en ligne et de nombreux calculateurs de poche peuvent également effectuer ces tâches.
- Le calculateur d’intérêts composé gratuit proposé par Financial-Calculators.com est simple à utiliser et offre des choix de fréquences composés journaliers et annuels. Il inclut une option permettant de sélectionner la composition en continu et permet également la saisie des dates de début et de fin du calendrier. Après avoir saisi les données de calcul nécessaires, les résultats montrent les intérêts gagnés, la valeur future, le rendement annuel en pourcentage (APY), une mesure qui inclut la composition, et les intérêts quotidiens.
- Investor.gov, un site Web géré par la Securities and Exchange Commission (SEC) des États-Unis, propose un calculateur en ligne gratuit d’intérêts composés. La calculatrice est assez simple, mais elle permet de saisir des dépôts supplémentaires mensuels dans le capital, ce qui est utile pour calculer les gains lorsque des économies mensuelles supplémentaires sont déposées.
- Un calculateur d'intérêt en ligne gratuit avec quelques fonctionnalités supplémentaires est disponible sur TheCalculatorSite.com. Cette calculatrice permet d'effectuer des calculs pour différentes devises, de prendre en compte les dépôts ou retraits mensuels et de calculer automatiquement les augmentations des dépôts ou retraits mensuels corrigés de l'inflation.
La fréquence de composition
Les intérêts peuvent être composés selon un calendrier de fréquences donné, de tous les jours à tous les ans. Il existe des calendriers de fréquence de composition standard qui sont généralement appliqués aux instruments financiers.
Le calendrier de composition généralement utilisé pour les comptes d'épargne dans une banque est quotidien. Pour un CD, les horaires de composition habituels sont quotidiens, mensuels ou semestriels; pour les comptes du marché monétaire, c'est souvent quotidien. Pour les prêts hypothécaires résidentiels, les prêts sur valeur nette, les prêts personnels aux entreprises ou les comptes de carte de crédit, le calendrier de composition le plus couramment appliqué est mensuel. Il peut également y avoir des variations dans le délai dans lequel les intérêts courus sont réellement crédités au solde existant. Les intérêts sur un compte peuvent être composés quotidiennement mais uniquement crédités mensuellement. Ce n'est que lorsque les intérêts sont réellement crédités, ou ajoutés au solde existant, qu'il commence à générer des intérêts supplémentaires sur le compte.
Certaines banques offrent également ce que l’on appelle un intérêt continuellement composé, qui ajoute de l’intérêt au principal à chaque instant possible. À des fins pratiques, il ne rapporte pas plus que les intérêts composés quotidiennement, à moins que vous ne souhaitiez mettre de l'argent et le sortir le même jour.
Une composition plus fréquente des intérêts profite à l'investisseur ou au créancier. Pour un emprunteur, le contraire est vrai.
Valeur temporelle de la contrepartie monétaire
Comprendre la valeur temporelle de l'argent et la croissance exponentielle créée par la composition est essentiel pour les investisseurs cherchant à optimiser leur répartition du revenu et de leur patrimoine.
Les formules pour obtenir la valeur future (FV) et la valeur actuelle (PV) sont les suivantes:
FV = PV (1 + i) n et PV = FV / (1 + i) n
Par exemple, la valeur future de 10 000 $ est composée à 5% par an pendant trois ans:
= 10 000 $ (1 + 0, 05) 3
= 10 000 $ (1, 157625)
= 11 576, 25 $
La valeur actuelle de 11 576, 25 $, actualisée à 5% sur trois ans:
= 11 576, 25 $ / (1 + 0, 05) 3
= 11 576, 25 $ / 1, 157625
= 10 000 $
L'inverse de 1, 157625, qui est égal à 0, 8638376, est le facteur d'actualisation dans ce cas.
La "règle de 72"
La soi-disant règle de 72 calcule le temps approximatif pendant lequel un investissement doublera à un taux de rendement donné ou un intérêt «i», donnée par (72 / i). Il ne peut être utilisé que pour la composition annuelle.
À titre d'exemple, un investissement ayant un taux de rendement annuel de 6% doublera en 12 ans.
Un investissement avec un taux de rendement annuel de 8% doublera donc en neuf ans.
Taux de croissance annuel composé (CAGR)
Le taux de croissance annuel composé (CAGR) est utilisé pour la plupart des applications financières nécessitant le calcul d'un taux de croissance unique sur une période donnée.
Supposons que votre portefeuille de placements est passé de 10 000 à 16 000 dollars sur cinq ans. quel est le CAGR? En gros, cela signifie que PV = - 10 000 $, FV = 16 000 $, nt = 5, de sorte que la variable «i» doit être calculée. En utilisant une calculatrice financière ou Excel, il est possible de montrer que i = 9, 86%.
(Notez que, conformément à la convention de trésorerie, votre investissement initial (PV) de 10 000 $ est indiqué par un signe négatif puisqu'il représente une sortie de fonds. PV et FV doivent nécessairement avoir des signes opposés pour résoudre le «i» dans ce qui précède. équation).
CAGR Applications réelles
Le TCAC est largement utilisé pour calculer les rendements sur des périodes données pour des actions, des fonds communs de placement et des portefeuilles d’investissement. Le TCAC est également utilisé pour déterminer si un gestionnaire de fonds communs de placement ou un gestionnaire de portefeuille a dépassé le taux de rendement du marché sur une période donnée. Si, par exemple, un indice de marché a généré des rendements totaux de 10% sur une période de cinq ans et qu'un gestionnaire de fonds n'a généré que des rendements annuels de 9% sur la même période, il a sous-performé le marché.
Le TCAC peut également être utilisé pour calculer le taux de croissance attendu des portefeuilles d’investissement sur de longues périodes, ce qui est utile pour des objectifs tels que l’épargne en vue de la retraite. Considérez les exemples suivants:
Exemple 1: Un investisseur peu enclin à prendre des risques est satisfait du taux de rendement annuel modeste de 3% de son portefeuille. Son portefeuille actuel de 100 000 $ passerait donc à 180 611 $ après 20 ans. En revanche, un investisseur tolérant au risque qui s'attend à un rendement annuel de 6% sur son portefeuille verrait son capital passer de 100 000 $ à 320 714 $ après 20 ans.
Exemple 2: Le TCAC peut être utilisé pour estimer combien de temps il faut ranger pour économiser pour un objectif spécifique. Un couple souhaitant économiser 50 000 $ sur 10 ans afin de constituer un acompte sur un condo aurait besoin d'économiser 4 165 $ par an s'il supposait un rendement annuel (CAGR) de 4% sur ses économies. S'ils sont prêts à prendre un peu plus de risque et à s'attendre à un TCAC de 5%, ils devront économiser 3 975 $ par an.
Exemple 3: Le TCAC peut également être utilisé pour démontrer les vertus d'un investissement plus tôt que tard dans la vie. Si l'objectif est d'économiser 1 million de dollars d'ici la retraite à 65 ans, sur la base d'un TCAC de 6%, un jeune de 25 ans aurait besoin d'économiser 6 462 $ par an pour atteindre cet objectif. En revanche, un homme de 40 ans aurait besoin d'économiser 18 227 dollars, soit près de trois fois ce montant, pour atteindre le même objectif.
- Les TCAC apparaissent également fréquemment dans les données économiques. Voici un exemple: le PIB de la Chine par habitant est passé de 193 dollars en 1980 à 6 091 dollars en 2012. Quelle est la croissance annuelle du PIB par habitant au cours de cette période de 32 ans? Dans ce cas, le taux de croissance «i» s’élève à un impressionnant 11, 4%.
Avantages et inconvénients de la composition
Alors que la magie de la composition a conduit à l'histoire apocryphe d'Albert Einstein l'appelant la huitième merveille du monde ou la plus grande invention de l'homme, la composition peut également être préjudiciable aux consommateurs ayant des emprunts à taux très élevés, tels que les dettes de carte de crédit. Un solde de 20 000 $ sur une carte de crédit porté à un taux d'intérêt composé de 20% mensuellement donnerait un intérêt composé total de 4 388 $ sur un an, soit environ 365 $ par mois.
Sur le plan positif, la magie de la composition peut tirer parti de vos investissements et constituer un facteur puissant de création de richesse. La croissance exponentielle tirée de l'intérêt composé est également importante pour atténuer les facteurs d'érosion de la richesse, tels que la hausse du coût de la vie, l'inflation et la réduction du pouvoir d'achat.
Les fonds communs de placement constituent l’un des moyens les plus faciles pour les investisseurs de tirer parti des avantages des intérêts composés. En choisissant de réinvestir les dividendes provenant du fonds commun de placement, on en achète plus d'actions. Des intérêts composés plus nombreux s’accumulent au fil du temps et le cycle d’achat d’un plus grand nombre d’actions continuera d’aider la valeur du placement dans le fonds.
Prenons un investissement en fonds communs de placement ouvert avec une somme initiale de 5 000 $ et une augmentation annuelle de 2 400 $. Avec un rendement annuel moyen sur 12 ans de 12% sur 30 ans, la valeur du fonds pour l'avenir est de 798 500 $. L’intérêt composé correspond à la différence entre la trésorerie apportée à l’investissement et la valeur future réelle de l’investissement. Dans ce cas, en versant 77 000 dollars, soit une contribution cumulative de seulement 200 dollars par mois sur 30 ans, l’intérêt composé s’élève à 721 500 dollars du solde futur. Bien entendu, les revenus d'intérêts composés sont imposables, à moins que l'argent ne soit dans un compte à l'abri de l'impôt; il est généralement imposé au taux standard associé à la tranche d'imposition du contribuable.
Placements à intérêt composé
Un investisseur qui opte pour un plan de réinvestissement dans un compte de courtage utilise essentiellement le pouvoir de capitalisation de tout ce qu'il investit. Les investisseurs peuvent également faire face à un intérêt composé lors de l’achat d’une obligation à coupon zéro. Les émissions d’obligations traditionnelles fournissent aux investisseurs des paiements d’intérêts périodiques fondés sur les conditions initiales de l’émission d’obligations. Comme ces paiements sont versés à l’investisseur sous forme de chèque, les intérêts ne sont pas composés. Les obligations à coupon zéro n'envoient pas de chèques d'intérêts aux investisseurs; au lieu de cela, ce type de lien est acheté à un prix inférieur à sa valeur initiale et se développe avec le temps. Les émetteurs d’obligations à coupon zéro utilisent le pouvoir de la capitalisation pour augmenter la valeur de l’obligation afin qu’elle atteigne son plein cours à son échéance.
La composition peut également fonctionner pour vous lorsque vous effectuez des remboursements de prêt. En effectuant la moitié de votre versement hypothécaire deux fois par mois, par exemple, au lieu d'effectuer l'intégralité du paiement une fois par mois, vous réduirez votre période d'amortissement et vous épargnerez un montant substantiel d'intérêts. En parlant de prêt…
Dire si l'intérêt est composé
La loi sur la vérité dans les prêts (TILA) exige que les prêteurs divulguent les conditions du prêt aux emprunteurs potentiels, y compris le montant total en dollars des intérêts devant être remboursés sur la durée du prêt et indiquant si les intérêts courent ou sont composés.
Une autre méthode consiste à comparer le taux d'intérêt d'un prêt à son taux de pourcentage annuel (TAP), que TILA demande également aux prêteurs de divulguer. L’APR convertit les frais financiers de votre prêt, qui comprennent tous les intérêts et les frais, en un taux d’intérêt simple. Une différence substantielle entre le taux d’intérêt et le TAP correspond à l’un ou l’autre des deux scénarios: votre prêt utilise des intérêts composés ou bien des frais de prêt élevés en plus des intérêts.