La différence entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Il existe de nombreuses façons de mesurer la performance d'un portefeuille financier et de déterminer si une stratégie d'investissement est réussie. Les professionnels de l'investissement utilisent souvent la moyenne géométrique , plus communément appelée moyenne géométrique, pour ce faire.

La moyenne géométrique diffère de la moyenne arithmétique, ou moyenne arithmétique, dans la façon dont elle est calculée, car elle prend en compte la composition qui se produit d'une période à l'autre. Pour cette raison, les investisseurs considèrent généralement que la moyenne géométrique est une mesure de rendement plus précise que la moyenne arithmétique.

La formule de la moyenne arithmétique

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 +… + partout: a1, a2, …, an = rendements du portefeuille pour la période nn = nombre de périodes \ begin {alignés} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {où:}} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Les retours de portefeuille pour période} n \\ & n = \ text {Nombre de périodes} \\ \ end {alignées} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an où: a1, a2, …, an = rendements du portefeuille pour la période nn = nombre de périodes

Moyenne arithmétique

Comment calculer la moyenne arithmétique

Une moyenne arithmétique est la somme d'une série de nombres divisée par le nombre de ces séries.

Si l’on vous demandait de calculer la moyenne (arithmétique) des notes de test par classe, vous additionneriez simplement toutes les notes de test des étudiants, puis divisiez cette somme par le nombre d’étudiants. Par exemple, si cinq étudiants passaient un examen et que leurs scores étaient de 60%, 70%, 80%, 90% et 100%, la moyenne de la classe de calcul serait de 80%.

Cela serait calculé comme suit:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ begin {aligné} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {aligné} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

La raison pour laquelle nous utilisons une moyenne arithmétique pour les scores de test est que chaque score est un événement indépendant. Si un étudiant obtient de piètres résultats à l'examen, les chances de l'élève suivant de réussir (ou bien) à l'examen ne sont pas affectées.

Dans le monde de la finance, la moyenne arithmétique n'est généralement pas une méthode appropriée pour calculer une moyenne. Considérez les retours sur investissement, par exemple. Supposons que vous investissiez sur les marchés financiers pendant cinq ans. Si les rendements de votre portefeuille étaient chaque année de 90%, 10%, 20%, 30% et -90%, quel serait votre rendement moyen au cours de cette période?

Avec la moyenne arithmétique, le rendement moyen serait de 12%, ce qui semble à première vue impressionnant - mais ce n'est pas tout à fait exact. En effet, en ce qui concerne les rendements annuels des investissements, les chiffres ne sont pas indépendants les uns des autres. Si vous perdez une somme d'argent substantielle au cours d'une année donnée, vous disposez d'autant moins de capital à investir et à générer des rendements les années suivantes.

Nous aurions besoin de calculer la moyenne géométrique de vos rendements de placement pour obtenir une mesure précise de votre rendement annuel moyen réel sur une période de cinq ans.

La formule de la moyenne géométrique

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2… xnnwhere: x1, x2, = rendements du portefeuille pour chaque période = nombre de périodes \ begin {alignées} & \ left (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {où:}} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Les revenus du portefeuille pour chaque période } \\ & n = \ text {Nombre de points} \\ \ end {alignés} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn où: x1, x2, = Rendements du portefeuille pour chaque période = nombre de périodes

Comment calculer la moyenne géométrique

La moyenne géométrique d'une série de nombres est calculée en prenant le produit de ces nombres et en l'élevant à l'inverse de la longueur de la série.

Pour ce faire, nous en ajoutons un à chaque nombre (pour éviter tout problème de pourcentage négatif). Ensuite, multipliez tous les nombres ensemble et élevez leur produit à la puissance d'un divisé par le nombre de nombres de la série. Ensuite, on soustrait un du résultat.

La formule, écrite en décimales, ressemble à ceci:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1 où: R = Retourn = Nombre de nombres de la série \ begin {aligné} & [( 1 + \ text {R} _1) \ times (1 + \ text {R} _2) \ times (1 + \ text {R} _3) \ dotso \ times (1 + \ text {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {R} = \ text {Entrée} \\ & n = \ text {Nombre de chiffres de la série} \ \ \ end {aligné} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1où: R = Retourn = Compte des nombres dans la série

La formule semble assez intense, mais sur papier, ce n’est pas si complexe. Pour revenir à notre exemple, calculons la moyenne géométrique: Nos rendements étaient de 90%, 10%, 20%, 30% et -90%, nous les avons donc intégrés dans la formule comme suit:

(1.9 × 1.1 × 1.2 × 1.3 × 0.1) 15−1 \ begin {aligné} & (1.9 \ fois 1, 1 \ fois 1, 2 \ fois 1, 3 \ fois 0, 1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ end {aligné} (1.9 × 1.1 × 1.2 × 1.3 × 0.1) 51 −1

Le résultat donne un rendement annuel moyen géométrique de -20, 08%. Le résultat obtenu à l'aide de la moyenne géométrique est bien pire que la moyenne arithmétique de 12% que nous avons calculée précédemment et, malheureusement, c'est également le nombre qui représente la réalité dans ce cas.

Points clés à retenir

• La moyenne géométrique est la plus appropriée pour les séries présentant une corrélation en série. Cela est particulièrement vrai pour les portefeuilles d'investissement.
• La plupart des rendements en finance sont corrélés, y compris les rendements des obligations, les rendements des actions et les primes de risque du marché. Plus l'horizon temporel est long, plus la composition devient critique et plus l'utilisation de la moyenne géométrique est appropriée.
• Pour les nombres volatils, la moyenne géométrique fournit une mesure beaucoup plus précise du rendement réel en tenant compte de la composition sur 12 mois.