Théorie des jeux: au-delà des bases

En utilisant la théorie des jeux, des scénarios du monde réel pour des situations telles que la concurrence en matière de prix et les sorties de produits (et bien d'autres) peuvent être présentés et leurs résultats prédits. Les entreprises qui utilisent (et respectent) ce dispositif pour déterminer l’équilibre de Nash voient un avantage énorme dans leurs stratégies budgétaires. (Voir aussi: Les bases de la théorie des jeux .)

A qui le tour?

Alors que les jeux séquentiels sont joués tour à tour, des jeux simultanés sont joués, chaque joueur prenant sa décision en même temps. Avec les jeux simultanés, nous n'utilisons plus la méthode d'introduction commune de l'induction en arrière. Les partisans de la théorie des jeux compilent souvent les différents résultats dans ce qu'on appelle une matrice (ci-dessous).

Cette matrice est appelée forme normale. Les choix du joueur sont affichés sur l'axe vertical gauche et ceux du joueur 2 sur l'axe horizontal supérieur. Les gains pour chaque joueur sont aux intersections correspondantes et sont affichés comme suit (joueur un, joueur deux).

L'équilibre de Nash

L’équilibre de Nash est un résultat atteint qui, une fois réalisé, signifie qu’aucun joueur ne peut augmenter ses profits en modifiant unilatéralement ses décisions. Cela peut également être considéré comme "aucun regret", en ce sens qu'une fois qu'une décision est prise, le joueur ne peut pas regretter les décisions prenant en compte les conséquences.

L'équilibre de Nash est atteint avec le temps, dans la plupart des cas. Cependant, une fois que l'équilibre de Nash est atteint, il ne sera pas dévié. Après avoir appris comment trouver l’équilibre de Nash, jetez un coup d’œil à la manière dont un mouvement unilatéral affecterait la situation. Celà a-t-il un sens? Cela ne devrait pas, et c’est pourquoi l’équilibre de Nash est décrit comme "aucun regret".

Trouver des équilibres de Nash

Première étape: Déterminez la meilleure réponse du joueur aux actions du deuxième joueur.
Lorsque nous examinons les choix susceptibles de maximiser le gain d'un joueur, nous devons examiner comment le joueur 1 doit réagir à chacune des options que le joueur 2 a. Un moyen facile de le faire visuellement est de dissimuler les choix du joueur deux. Considérez la matrice décrite au début de cet article lorsque nous appliquons cette méthode.

Le joueur 1 a deux choix possibles: "up" ou "down". Le joueur deux a également deux choix à jouer: "gauche" ou "droite". Dans cette étape de la détermination de l'équilibre de Nash, nous examinons les réponses aux actions du joueur deux. Si le joueur deux choisit de jouer "à gauche", nous pouvons jouer "haut" avec le gain de 1 ou jouer "bas" avec le gain de 3. Puisque 3 est supérieur à 1, nous allons en gras le 3 indiquant l'option de jouer. "ici.

Si le joueur deux choisit de jouer "à droite", nous pouvons choisir de jouer "up" pour un gain de 4 ou de jouer "down" pour un playoff de 3. Puisque 4 est supérieur à 3, nous mettons en gras le 4 pour indiquer l'option jouer "up" ici. Les résultats audacieux sont indiqués ci-dessous sur la matrice complète.

Deuxième étape: Déterminez la meilleure réponse du joueur deux à ses actions.
Comme nous l'avons déjà fait avec le joueur deux gains pour le joueur un, nous allons cacher les gains du joueur un lors de la détermination des meilleures réponses pour le joueur deux. (Voir aussi: Indicateurs avancés de la finance comportementale .)

Tout comme quand on regarde le premier joueur, chaque joueur a deux choix à jouer. Si le joueur 1 choisit de jouer "up", nous pouvons jouer "à gauche", avec un gain de 3 ou "à droite", avec un gain de 2. Puisque 3 est supérieur à 2, nous mettons en gras le 3 pour montrer l'option de jouer "à gauche" ici. Si le joueur 1 choisit de jouer "bas", nous pouvons jouer "à gauche" pour un gain de 2 ou "à droite" pour un gain de 1. Puisque 2 est supérieur à 1, nous mettons en gras le 2 indiquant l'option de jouer. "à gauche ici. Les résultats audacieux sont indiqués ci-dessous sur la matrice complète.

Troisième étape: Déterminez quels résultats ont les deux résultats en gras. Ce résultat particulier est l’équilibre de Nash.
Maintenant, nous combinons les options audacieuses pour les deux joueurs sur la matrice complète.

Recherchez les intersections où les deux gains sont en gras. Dans ce cas, nous trouvons que l'intersection de (Bas, Gauche) avec le gain de (3, 2) correspond à nos critères. Cela indique notre équilibre de Nash.

Cette méthode de recherche de l’équilibre de Nash convient bien à la recherche d’équilibres simultanés dans les jeux, car nous examinons comment un joueur réagirait indépendamment des autres. Ce scénario de jeu simultané est souvent joué dans des entreprises telles que les compagnies aériennes. Vous trouverez ci-dessous un exemple, similaire au jeu ci-dessus, de la façon dont les tarifs aériens peuvent évoluer. Les paiements sont en milliers de dollars. Rappelez-vous que ce sont les paiements, pas les prix. La méthode que nous avons appliquée précédemment est déjà appliquée pour montrer où l’équilibre de Nash apparaît.

En regardant uniquement les choix de A1, nous pouvons voir que si A2 choisit de jouer à bas prix, nous choisirons entre un prix bas pour 3 000 ou un prix élevé pour 2 000. Nous choisissons bas, depuis 3.000> 2.000. Nous faisons la même chose pour A2 jouant à prix élevé et voyons que nous jouons bas parce que 4 000> 3 500. Inversement, en regardant seulement les choix de A2, nous pouvons voir que si A1 choisit de jouer à prix bas, nous choisissons entre "prix bas" pour 3 000 et "prix élevé" pour 2 000. Depuis 3 000> 2 000, nous avons choisi l’option «bas prix» ici. Si A1 joue à prix élevé, nous pouvons facturer un prix bas pour 4000 ou un prix élevé pour 3500. Depuis 4 000> 3 500, nous avons choisi de jouer à bas prix ici.

L’équilibre de Nash est que les deux compagnies aériennes factureront un prix bas (indiqué lorsque les choix de chaque partie sont mis en évidence). Si les deux compagnies facturaient un prix élevé, elles se porteraient mieux que l’équilibre de Nash.

Alors, pourquoi n'acceptent-ils pas cela? Tout d'abord, il est illégal de collaborer. Deuxièmement, si cela se produisait, une action unilatérale de la part d'une compagnie aérienne visant à facturer un prix bas serait bénéfique, ce qui lui permettrait de gagner plus d'argent à son tour. Cette logique montre également comment atteindre l'équilibre de Nash et pourquoi il n'est pas bénéfique de s'en écarter une fois atteint. (Voir aussi: finance comportementale .)

Équilibres de Nash multiples

En règle générale, il peut y avoir plus d'un équilibre dans une partie. Cependant, cela se produit généralement dans des jeux comportant des éléments plus complexes que deux choix faits par deux joueurs. Dans les jeux simultanés qui se répètent dans le temps, l’un de ces équilibres multiples est atteint après quelques essais et erreurs. Ce scénario de choix différents au fil du temps avant d'atteindre l'équilibre est le scénario le plus souvent utilisé dans le monde des affaires lorsque deux entreprises déterminent les prix de produits très interchangeables, tels que les billets d'avion ou les boissons non alcoolisées.

Le résultat final

Avec ces méthodes avancées, davantage de situations du monde réel peuvent être modélisées et résolues. Les différents types d'équilibres de Nash dont nous avons discuté sont les solutions les plus couramment trouvées aux jeux modélisés dans le monde réel. Une connaissance pratique de la théorie des jeux peut vous aider à élaborer une stratégie, qu'il s'agisse de jouer au tic-tac-toe ou de gagner les plus gros profits.