Modèle Heath-Jarrow-Morton - Définition du modèle HJM
Le modèle Heath-Jarrow-Morton (modèle HJM) est utilisé pour modéliser les taux d’intérêt à terme. Ces taux sont ensuite modélisés selon une structure de taux de taux d’intérêt existante afin de déterminer les prix appropriés pour les titres sensibles aux taux d’intérêt.
La formule pour le modèle HJM est
En général, le modèle HJM et ceux qui sont construits sur son cadre suivent la formule:
df (t, T) = α (t, T) dt + σ (t, T) dW (t) où: df (t, T) = le taux d’intérêt instantané à terme des obligations à coupon zéro à échéance T est supposé pour satisfaire l'équation différentielle stochastique montrée ci-dessus.α, σ = AdaptéW = Un mouvement brownien (marche aléatoire) sous l'hypothèse neutre de la prise de vue \ begin {aligné} & \ text {d} f (t, T) = \ alpha (t, T) \ text {d} t + \ sigma (t, T) \ text {d} W (t) \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {d} f (t, T) = \ text {Le taux d’intérêt instantané à terme de} \\ & \ text {de l’obligation à coupon zéro avec une échéance T est supposé satisfaire} \\ & \ text {à l’équation différentielle stochastique ci-dessus.}} \\ & \ alpha, \ sigma = \ text {Adapté} \\ & W = \ text {Un mouvement brownien (marche aléatoire) sous}} \\ & \ text {hypothèse sans risque} \\ \ end {aligné} df (t, T) = α (t, T) dt + σ (t, T) dW (t) où: df (t, T) = Le taux d’intérêt instantané à terme des obligations à coupon zéro de maturité T est supposé satisfaire à l’équation différentielle stochastique indiquée ci-dessus. α, σ = AdaptedW = Un mouvement brownien (marche aléatoire) sous une hypothèse neutre
Que vous dit le modèle Heath-Jarrow-Morton?
Un modèle de Heath-Jarrow-Morton est très théorique et est utilisé aux niveaux les plus avancés de l'analyse financière. Il est principalement utilisé par les arbitragistes à la recherche d'opportunités d'arbitrage, ainsi que par les analystes évaluant les produits dérivés. Le modèle HJM prédit les taux d'intérêt à terme, le point de départ étant la somme de ce que l'on appelle les termes de dérive et de diffusion. La dérive des taux à terme dépend de la volatilité, connue sous le nom de condition de dérive HJM. Au sens fondamental, un modèle HJM est un modèle de taux d’intérêt régi par un nombre fini de mouvements browniens.
Le modèle HJM est basé sur les travaux des économistes David Heath, Robert Jarrow et Andrew Morton des années 1980. Le trio a écrit deux articles remarquables à la fin des années 1980 qui ont jeté les bases du cadre, notamment «Fixation des prix des obligations et structure par terme des taux d’intérêt: une nouvelle méthodologie».
Il existe divers modèles supplémentaires construits sur le framework HJM. Ils cherchent tous généralement à prédire la courbe de taux à terme dans son ensemble, et pas seulement le taux court ou le point sur la courbe. Le plus gros problème des modèles HJM est qu’ils ont tendance à avoir des dimensions infinies, ce qui rend le calcul presque impossible. Différents modèles cherchent à exprimer le modèle HJM en tant qu'état fini.
Points clés à retenir
- Le modèle de Heath-Jarrow-Morton (modèle HJM) est utilisé pour modéliser les taux d’intérêt à terme à l’aide d’une équation différentielle permettant un caractère aléatoire.
- Ces taux sont ensuite modélisés selon une structure de terme de taux d’intérêt existante afin de déterminer les prix appropriés pour les titres sensibles aux taux d’intérêt, tels que les obligations ou les swaps.
- Aujourd'hui, il est principalement utilisé par les arbitragistes à la recherche d'opportunités d'arbitrage, ainsi que par les analystes évaluant les produits dérivés.
Modèle HJM et prix des options
Le modèle HJM est également utilisé dans la détermination du prix des options, qui consiste à déterminer la juste valeur d'un contrat dérivé. Les institutions commerciales peuvent utiliser des modèles pour évaluer les options comme stratégie pour trouver des options sous-évaluées ou surévaluées.
Les modèles d'évaluation des options sont des modèles mathématiques qui utilisent des intrants connus et des valeurs prédites, telles que la volatilité implicite, pour déterminer la valeur théorique des options. Les traders utiliseront certains modèles pour déterminer le prix à un moment donné, en mettant à jour le calcul de la valeur en fonction de l'évolution des risques.
Pour un modèle HJM, pour calculer la valeur d'un échange de taux d'intérêt, la première étape consiste à former une courbe d'actualisation basée sur les prix des options en vigueur. À partir de cette courbe d’escompte, des taux à terme peuvent être obtenus. À partir de là, il faut entrer la volatilité des taux d’intérêt à terme et, si la volatilité est connue, la dérive peut être déterminée.
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