Distribution log-normale et normale

Les mathématiques derrière la finance peuvent être un peu déroutantes et fastidieuses. Heureusement, la plupart des programmes informatiques effectuent des calculs complexes. Cependant, il est crucial de comprendre les divers termes et méthodes statistiques, leur signification et la meilleure analyse des investissements pour choisir le titre approprié et obtenir l’impact souhaité sur un portefeuille.

Une décision importante est de choisir entre les distributions normale et lognormale, les deux étant souvent mentionnées dans la littérature de recherche. Avant de choisir, vous devez savoir:

• Que sont ils
• Quelles différences existent entre eux
• Comment ils influencent les décisions d'investissement

Normal versus Lognormal

Les distributions normales et log-normales sont utilisées en mathématiques statistiques pour décrire la probabilité qu'un événement se produise. Lancer une pièce de monnaie est un exemple de probabilité facilement compréhensible. Si vous lancez une pièce 1000 fois, quelle est la distribution des résultats? Autrement dit, combien de fois at-il atterrir sur la tête ou la queue? Il y a 50% de chances qu'il tombe sur la tête ou la queue. Cet exemple de base décrit la probabilité et la distribution des résultats.

Il existe de nombreux types de distributions, dont la distribution normale ou courbe de Bell. (Voir figure 1)

Dans une distribution normale, 68% (34% + 34%) des résultats sont compris dans un écart-type et 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) se situent dans un écart-type. Au centre (le point 0 dans l'image ci-dessus), la médiane (la valeur médiane de l'ensemble), le mode (la valeur qui apparaît le plus souvent) et la moyenne (moyenne arithmétique) sont tous identiques.

La distribution log-normale diffère de la distribution normale de plusieurs manières. Une différence majeure réside dans sa forme: la distribution normale est symétrique, alors que la distribution log-normale ne l’est pas. Comme les valeurs d'une distribution log-normale sont positives, elles créent une courbe asymétrique à droite. (Voir Fig 2)

Cette asymétrie est importante pour déterminer la distribution qu'il convient d'utiliser dans la prise de décision en matière d'investissement. Une autre distinction est que les valeurs utilisées pour dériver une distribution log-normale sont normalement distribuées.

Clarifions avec un exemple. Un investisseur veut connaître le prix futur attendu de ses actions. Comme les actions croissent à un taux composé, elle doit utiliser un facteur de croissance. Pour calculer les prix attendus possibles, elle prendra le cours actuel de l'action et le multipliera par divers taux de rendement (qui sont des facteurs exponentiels calculés mathématiquement sur la base de la composition), supposés être distribués normalement. Lorsque l’investisseur compose continuellement les rendements, il crée une distribution lognormale. Cette distribution est toujours positive même si certains des taux de rendement sont négatifs, ce qui se produira 50% du temps dans une distribution normale. Le cours futur des actions sera toujours positif car il ne pourra pas tomber en dessous de 0 $.

Quand utiliser la distribution normale ou lognormale

L'exemple précédent nous a aidés à déterminer ce qui compte vraiment pour les investisseurs: quand utiliser chaque méthode. Lognormal est extrêmement utile pour analyser les prix des actions. Tant que le facteur de croissance utilisé est supposé être normalement distribué (comme nous le supposons avec le taux de rendement), la distribution log-normale a du sens. La distribution normale ne peut pas être utilisée pour modéliser les prix des actions car elle a un côté négatif et les prix des actions ne peuvent pas tomber en dessous de zéro.

Une autre utilisation similaire de la distribution log-normale concerne la tarification des options. Le modèle Black-Scholes, utilisé pour déterminer le prix des options, utilise la distribution log-normale comme base pour déterminer le prix des options.

Inversement, la distribution normale fonctionne mieux lors du calcul du rendement total du portefeuille. La distribution normale est utilisée car le rendement moyen pondéré (le produit de la pondération d’un titre dans un portefeuille et de son taux de rendement) est plus précis dans la description du rendement réel du portefeuille (positif ou négatif), en particulier si les pondérations varient grand degré. Voici un exemple typique:

Portefeuille Portefeuille Pondération Rendement pondéré

Stock A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Stock B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Rendement moyen pondéré total = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Bien que le rendement log-normal de la performance totale du portefeuille puisse être plus rapide à calculer sur une période plus longue, il ne parvient pas à capturer les pondérations individuelles des actions, ce qui peut considérablement fausser le rendement. En outre, les rendements du portefeuille peuvent être positifs ou négatifs, et une distribution log-normale ne parviendra pas à saisir les aspects négatifs.

Le résultat final

Bien que les nuances qui différencient les distributions normales et log normales puissent nous échapper la plupart du temps, la connaissance de l'apparence et des caractéristiques de chaque distribution permettra de mieux comprendre comment modéliser les rendements du portefeuille et les cours futurs des actions.