Utilisation de méthodes de distribution de probabilité courante

Quel que soit votre point de vue sur la prévisibilité ou l’efficacité des marchés, vous conviendrez probablement que pour la plupart des actifs, les rendements garantis sont incertains ou risqués. Si nous ignorons les calculs qui sous-tendent les distributions de probabilité, nous pouvons voir que ce sont des images décrivant une vue particulière de l'incertitude. La distribution de probabilité est un calcul statistique qui décrit la probabilité qu'une variable donnée se situe entre ou dans une plage spécifique d'un graphique à courbes.

L'incertitude fait référence au hasard. C'est différent d'un manque de prévisibilité ou d'une inefficacité du marché. Selon une étude récente, les marchés financiers sont à la fois incertains et prévisibles. De plus, les marchés peuvent être efficaces mais aussi incertains.

En finance, nous utilisons des distributions de probabilité pour dessiner des images illustrant notre vision de la sensibilité d'un retour sur actif lorsque nous pensons que le retour sur actif peut être considéré comme une variable aléatoire. Dans cet article, nous allons passer en revue quelques-unes des distributions de probabilités les plus populaires et vous montrer comment les calculer.

Les distributions peuvent être classées comme étant discrètes ou continues, selon qu'il s'agit d'une fonction de densité de probabilité (PDF) ou d'une distribution cumulative.

Distributions discrètes ou continues

Discret fait référence à une variable aléatoire tirée d'un ensemble fini de résultats possibles. Un dé à six faces, par exemple, produit six résultats distincts. Une distribution continue fait référence à une variable aléatoire tirée d'un ensemble infini. Des exemples de variables aléatoires continues incluent la vitesse, la distance et certains rendements d'actifs. Une variable aléatoire discrète est généralement illustrée par des points ou des tirets, tandis qu'une variable continue est illustrée par une ligne continue. La figure 1 montre des distributions discrètes et continues pour une distribution normale avec une moyenne (valeur attendue) de 50 et un écart type de 10:

Figure 1

La distribution est une tentative de cartographie de l'incertitude. Dans ce cas, une issue de 50 est la plus probable mais ne se produira que 4% du temps; un résultat de 40 correspond à un écart type inférieur à la moyenne et se produira un peu moins de 2, 5% du temps.

Probabilité Densité vs. Distribution Cumulative

L'autre distinction est entre la fonction de densité de probabilité (PDF) et la fonction de distribution cumulative. Le PDF est la probabilité que notre variable aléatoire atteigne une valeur spécifique (ou, dans le cas d’une variable continue, qu’elle se situe entre un intervalle). Nous montrons qu'en indiquant la probabilité qu'une variable aléatoire X soit égale à la valeur réelle x:

P [x = X] \ début {aligné} & P [x = X] \\ \ fin {aligné} P [x = X]

La distribution cumulative est la probabilité que la variable aléatoire X soit inférieure ou égale à la valeur réelle x:

P [x <= X] \ début {aligné} & P [x <= X] \\ \ fin {aligné} P [x <= X]

ou par exemple, si votre taille est une variable aléatoire avec une valeur attendue de 5'10 "(taille moyenne de vos parents), alors la question PDF est, " Quelle est la probabilité que vous atteigniez une hauteur de 5'4 "" >

La figure 1 montre deux distributions normales. Vous pouvez maintenant voir qu'il s'agit de tracés de fonction de densité de probabilité (PDF). Si nous reprenons la même distribution exacte qu'une distribution cumulative, nous obtiendrons ce qui suit:

Figure 2

La distribution cumulée doit éventuellement atteindre 1, 0 ou 100% sur l'axe des ordonnées. Si nous élevons la barre assez haut, à un moment donné, pratiquement tous les résultats tomberont sous cette barre (nous pourrions dire que la distribution est typiquement asymptotique à 1, 0).

La finance, une science sociale, n’est pas aussi propre que les sciences physiques. Gravity, par exemple, a une formule élégante sur laquelle nous pouvons compter, encore et encore. En revanche, les rendements des actifs financiers ne peuvent pas être répliqués de manière aussi cohérente. Au fil des ans, des personnes intelligentes ont perdu une somme énorme, qui a confondu les distributions précises (comme si elles étaient dérivées des sciences physiques) avec les approximations approximatives, peu fiables et douteuses, qui tentent de représenter les rendements financiers. En finance, les distributions de probabilité ne sont guère plus que des représentations graphiques brutes.

Distribution uniforme

La distribution la plus simple et la plus populaire est la distribution uniforme, dans laquelle tous les résultats ont une chance égale de se produire. Un dé à six faces a une distribution uniforme. Chaque résultat a une probabilité d'environ 16, 67% (1/6). Notre graphique ci-dessous montre le trait plein (pour que vous puissiez mieux le voir), mais gardez à l'esprit qu'il s'agit d'une distribution discrète - vous ne pouvez pas lancer 2.5 ou 2.11:

figure 3

Maintenant, lancez deux dés ensemble, comme illustré à la figure 4, et la distribution n’est plus uniforme. Il culmine à sept, avec une chance de 16, 67%. Dans ce cas, tous les autres résultats sont moins probables:

Figure 4

Maintenant, lancez trois dés ensemble, comme le montre la figure 5. Nous commençons à voir les effets d’un théorème des plus étonnants: le théorème de la limite centrale. Le théorème central limite promet audacieusement que la somme ou la moyenne d'une série de variables indépendantes aura tendance à devenir normalement distribuée, quelle que soit leur distribution . Nos dés sont individuellement uniformes mais les combinent et, au fur et à mesure que nous en ajoutons, leur somme tendra presque magiquement vers la distribution normale bien connue.

Figure 5

Distribution binomiale

La distribution binomiale reflète une série d'essais "soit / ou", tels qu'une série de lancers de pièces. Ce sont les essais de Bernoulli - qui font référence à des événements qui n'ont que deux résultats - mais vous n'avez pas besoin de chances égales (50/50). La distribution binomiale ci-dessous trace une série de 10 lancers de pièces dans lesquels la probabilité de têtes est de 50% (p-0, 5). Vous pouvez voir sur la figure 6 que le risque de faire basculer exactement cinq têtes et cinq queues (l'ordre importe peu) est tout juste inférieur à 25%:

Figure 6

Si la distribution binomiale vous semble normale, vous avez raison. À mesure que le nombre d'essais augmente, le binôme tend vers la distribution normale.

Distribution log-normale

La distribution log-normale est très importante en finance car beaucoup des modèles les plus populaires supposent que les prix des actions sont distribués de manière log-normale. Il est facile de confondre les rendements des actifs avec les niveaux de prix.

Les rendements des actifs sont souvent traités comme d'habitude: une action peut monter de 10% ou baisser de 10%. Les niveaux de prix sont souvent considérés comme log-normaux: un stock de 10 USD peut aller jusqu'à 30 USD mais ne peut pas descendre à - 10 USD. La distribution log-normale est non nulle et inclinée à droite (encore une action ne peut pas tomber en dessous de zéro mais elle n'a pas de limite théorique d'augmentation):

Figure 7

Poisson

La distribution de Poisson est utilisée pour décrire les probabilités qu'un certain événement (par exemple, une perte de portefeuille quotidienne inférieure à 5%) se produise pendant un intervalle de temps. Ainsi, dans l'exemple ci-dessous, nous supposons que certains processus opérationnels ont un taux d'erreur de 3%. Nous supposons en outre 100 essais aléatoires; la distribution de Poisson décrit la probabilité d'obtenir un certain nombre d'erreurs sur une certaine période, telle qu'un seul jour.

Figure 8

T étudiant

La distribution T de l’élève est également très populaire car elle a une "queue plus grosse" que la distribution normale. Le T de l'élève est généralement utilisé lorsque la taille de notre échantillon est petite (moins de 30). En finance, la queue gauche représente les pertes. Par conséquent, si la taille de l'échantillon est petite, nous osons sous-estimer les probabilités d'une perte importante. La queue plus grosse sur le T de l'étudiant nous aidera ici. Malgré tout, il arrive que la grosse queue de cette distribution ne soit souvent pas assez grosse. Les rendements financiers ont tendance à présenter, à de rares occasions catastrophiques, des pertes vraiment énormes (c'est-à-dire plus grosses que prévu par les distributions). De grosses sommes d’argent ont été perdues.

Figure 9

Distribution bêta

Enfin, la distribution bêta (à ne pas confondre avec le paramètre bêta du modèle de détermination du prix des immobilisations) est populaire auprès des modèles qui estiment les taux de recouvrement des portefeuilles obligataires. La distribution bêta est le lecteur utilitaire des distributions. Comme la normale, il ne nécessite que deux paramètres (alpha et bêta), mais ils peuvent être combinés pour une flexibilité remarquable. La figure 10 ci-dessous illustre quatre distributions bêta possibles:

Figure 10

Le résultat final

Comme beaucoup de chaussures dans notre placard à chaussures statistique, nous essayons de choisir le meilleur ajustement pour l’occasion, mais nous ne savons pas vraiment quel temps il fait pour nous. Nous pouvons choisir une distribution normale, puis découvrir qu'elle est sous-estimée. alors nous passons à une distribution asymétrique, seulement pour trouver que les données semblent plus "normales" dans la période suivante. Les mathématiques élégantes sous-jacentes peuvent vous faire croire que ces distributions révèlent une vérité plus profonde, mais il est plus probable qu’elles ne sont que de simples artefacts humains. Par exemple, toutes les distributions que nous avons examinées sont assez lisses, mais certains rendements des actifs progressent de façon discontinue.

La distribution normale est omniprésente et élégante et ne nécessite que deux paramètres (moyenne et distribution). De nombreuses autres distributions convergent vers la normale (binomiale et Poisson, par exemple). Cependant, de nombreuses situations, telles que les rendements des fonds de couverture, les portefeuilles de crédit et les pertes graves, ne méritent pas les distributions normales.