Modèle Scholes Noir
Le modèle Black Scholes, également appelé modèle Black-Scholes-Merton (BSM), est un modèle mathématique pour la détermination du prix d'un contrat d'options. En particulier, le modèle estime la variation dans le temps des instruments financiers tels que les actions et utilise la volatilité implicite de l'actif sous-jacent pour calculer le prix d'une option d'achat.
Points clés à retenir
- Le modèle Black-Scholes Merton (BSM) est une équation différentielle utilisée pour résoudre les prix des options.
- Le modèle a remporté le prix Nobel d'économie.
- Le modèle BSM standard sert uniquement à la détermination du prix des options européennes et ne prend pas en compte le fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d'expiration.
Les bases du modèle Black Scholes
Le modèle suppose que le prix des actifs fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique avec une dérive et une volatilité constantes. Lorsqu'il est appliqué à une option d'achat d'actions, le modèle intègre la variation du cours de l'action à prix constant, la valeur temps de l'argent, le prix d'exercice de l'option et le délai d'expiration de celle-ci.
Également appelé Black-Scholes-Merton, il s'agissait du premier modèle largement utilisé pour la détermination du prix des options. Il est utilisé pour calculer la valeur théorique des options en utilisant les cours actuels, les dividendes attendus, le prix d’exercice de l’option, les taux d’intérêt attendus, le délai d’expiration et la volatilité attendue.
La formule, élaborée par trois économistes - Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton - est peut-être le modèle d'évaluation des options le plus connu au monde. Il a été introduit dans leur document de 1973, "La tarification des options et des responsabilités des entreprises", publié dans le Journal of Political Economy . Black est décédé deux ans avant que Scholes et Merton se voient décerner le prix Nobel d'économie de 1997 pour leurs travaux visant à trouver une nouvelle méthode permettant de déterminer la valeur des dérivés (le prix Nobel n'est pas attribué à titre posthume; toutefois, le comité Nobel a reconnu le rôle joué par Black dans la Modèle de Black-Scholes).
Le modèle Black-Scholes repose sur certaines hypothèses:
- L'option est européenne et ne peut être exercée qu'à l'expiration.
- Aucun dividende n'est versé pendant la durée de l'option.
- Les marchés sont efficaces (c.-à-d. Que leurs mouvements ne peuvent être prédits).
- L’achat de l’option n’entraîne aucun coût de transaction.
- Le taux sans risque et la volatilité du sous-jacent sont connus et constants.
- Les retours sur le sous-jacent sont normalement distribués.
Alors que le modèle Black-Scholes d'origine ne tenait pas compte des effets des dividendes versés pendant la durée de l'option, le modèle est souvent adapté pour prendre en compte les dividendes en déterminant la valeur à la date ex-dividende de l'action sous-jacente.
La formule noire de Scholes
Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, vous n'avez pas besoin de connaître ni même de comprendre le calcul pour utiliser la modélisation Black-Scholes dans vos propres stratégies. Les traders d’options ont accès à une variété de calculateurs d’options en ligne et bon nombre des plates-formes de négociation actuelles disposent d’outils robustes d’analyse des options, notamment des indicateurs et des feuilles de calcul qui effectuent les calculs et produisent les valeurs de valorisation des options.
La formule d'options d'achat de Black Scholes est calculée en multipliant le prix de l'action par la fonction de distribution de probabilité normale cumulée standard cumulative. Ensuite, la valeur actuelle nette (VAN) du prix de levée multipliée par la distribution normale standard cumulée est soustraite de la valeur résultante du calcul précédent.
En notation mathématique:
C = StN (d1) −Ke − rtN (d2) où: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 − σs twhere: C = prix de l'option d'achatS = stock actuel (ou autre sous-jacent) priceK = prix de l'option d'achat = Ratet d’intérêt sans risque = Délai d’échéance N = Une distribution normale \ begin {alignée} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {où:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {et} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {où:} \\ & C = \ text {Prix d'option d'achat} \\ & S = \ text {Stock actuel (ou autre sous-jacent) prix} \\ & K = \ text {Prix d'exercice} \\ & r = \ text {Taux d'intérêt sans risque} \\ & t = \ text {Temps avant l'échéance} \\ & N = \ text {Une distribution normale} \ \ \ end {aligné} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) où: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t et d2 = d1 −σs t où: C = prix de l’option d’achat S = prix de l’action actuelle (ou autre prix sous-jacent) K = prix de levée = taux d’intérêt sans risque = échéance N = distribution normale
1:33Modèle de Black-Scholes
Que vous dit le modèle Black Scholes?
Le modèle de Black Scholes est l’un des concepts les plus importants de la théorie financière moderne. Il a été développé en 1973 par Fischer Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé aujourd'hui. Il est considéré comme l’un des meilleurs moyens de déterminer le juste prix des options. Le modèle de Black Scholes nécessite cinq variables d'entrée: le prix d'exercice d'une option, le cours actuel de l'action, le délai d'expiration, le taux sans risque et la volatilité.
Le modèle suppose que les prix des actions suivent une distribution log-normale car les prix des actifs ne peuvent être négatifs (ils sont limités par zéro). Ceci est également connu comme une distribution gaussienne. On observe souvent que les prix des actifs présentent une asymétrie droite importante et un certain degré de kurtosis (queue grasse). Cela signifie que les baisses à haut risque se produisent souvent plus souvent sur le marché que ne le prévoit une distribution normale.
L’hypothèse des prix des actifs sous-jacents lognormaux devrait donc montrer que les volatilités implicites sont similaires pour chaque prix d’exercice selon le modèle de Black-Scholes. Toutefois, depuis le krach boursier de 1987, la volatilité implicite des options à la monnaie est inférieure à celle des options plus éloignées ou plus éloignées. La raison de ce phénomène est que le marché tient compte de la probabilité accrue d’une forte volatilité à la baisse sur les marchés.
Cela a conduit à la présence du biais de volatilité. Lorsque les volatilités implicites des options ayant la même date d'expiration sont représentées sur un graphique, vous pouvez voir un sourire ou une forme asymétrique. Ainsi, le modèle de Black-Scholes n’est pas efficace pour calculer la volatilité implicite.
Limitations du modèle de Black Scholes
Comme indiqué précédemment, le modèle Black Scholes est uniquement utilisé pour la détermination du prix des options européennes et ne prend pas en compte le fait que les options américaines pourraient être exercées avant la date d'expiration. De plus, le modèle suppose que les dividendes et les taux sans risque sont constants, mais cela peut ne pas être vrai en réalité. Le modèle suppose également que la volatilité reste constante sur la durée de vie de l'option, ce qui n'est pas le cas car la volatilité fluctue avec le niveau de l'offre et de la demande.
De plus, le modèle suppose qu'il n'y a pas de coûts de transaction ni de taxes; que le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances; la vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée; et qu'il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage sans risque. Ces hypothèses peuvent conduire à des prix qui s'écartent du monde réel où ces facteurs sont présents.