Intérêt composé continu

L’intérêt composé est l’intérêt calculé sur le capital initial ainsi que sur l’intérêt accumulé des périodes précédentes d’un dépôt ou d’un prêt. L'effet de l'intérêt composé dépend de la fréquence.

Supposons un taux d'intérêt annuel de 12%. Si nous commençons l'année avec 100 dollars et que nous ne composons qu'une seule fois, à la fin de l'année, le capital passe à 112 dollars (100 dollars x 1, 12 = 112 dollars). Si au lieu de cela nous composons chaque mois à 1%, nous nous retrouvons avec plus de 112 $ à la fin de l'année. Soit 100 $ x 1, 01 ^ 12 à 112, 68 $. (Il est plus élevé parce que nous avons composé plus souvent.)

Les rendements composés en permanence sont les plus fréquents. La composition en continu est la limite mathématique que l’intérêt composé peut atteindre. Il s'agit d'un cas extrême de composition, car la plupart des intérêts sont composés sur une base mensuelle, trimestrielle ou semestrielle.

Taux de rendement semestriels

Tout d’abord, examinons une convention potentiellement déroutante. Sur le marché obligataire, nous nous référons à un rendement équivalent en obligations (ou base équivalente). Cela signifie que si une obligation rapporte 6% sur une base semestrielle, son rendement équivalent à une obligation est de 12%.

Figure 1

Le rendement semestriel est simplement doublé. Cela peut prêter à confusion, car le rendement effectif d’une obligation à rendement équivalent à 12% est de 12, 36% (soit 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Doubler le rendement semestriel est simplement une convention de dénomination de lien. Par conséquent, si nous lisons à propos d’une obligation composée à 8% composée semestriellement, nous supposons qu’il s’agit d’un rendement semestriel de 4%.

Taux de rendement trimestriel, mensuel et quotidien

Discutons maintenant des fréquences plus élevées. Nous supposons toujours un taux d'intérêt annuel du marché de 12%. Selon les conventions de dénomination des obligations, cela implique un taux composé semestriel de 6%. Nous pouvons maintenant exprimer le taux composé trimestriel en fonction du taux d’intérêt du marché.

Figure 2

Étant donné un taux de marché annuel ( r), le taux composé trimestriel ( r _q ) est donné par:

Ainsi, dans notre exemple, où le taux de marché annuel est de 12%, le taux composé trimestriel est de 11, 825%:

figure 3

Une logique similaire s'applique à la composition mensuelle. Le taux composé mensuel ( r _m ) est donné ici en fonction du taux d’intérêt annuel du marché ( r):

Le taux composé quotidien ( d) en fonction du taux d'intérêt du marché ( r) est donné par:

Comment fonctionne la composition continue

Figure 4

Si nous augmentons la fréquence composée à sa limite, nous composons continuellement. Bien que cela ne soit pas pratique, le taux d’intérêt composé en permanence offre des propriétés merveilleusement pratiques. Il s'avère que le taux d'intérêt composé de façon continue est donné par:

Ln () est le log naturel et dans notre exemple, le taux composé de façon continue est donc:

Nous arrivons au même endroit en prenant le logarithme naturel de ce ratio: la valeur finale divisée par la valeur initiale.

Cette dernière est courante lors du calcul du rendement composé de manière continue. Par exemple, si le stock passe de 10 dollars un jour à 11 dollars le lendemain, le rendement quotidien composé de façon continue est donné par:

En quoi le taux composé (ou le rendement) continuellement composé est-il si génial que nous le désignerons par r _c ">

Notez que e est la fonction exponentielle. Par exemple, si nous commençons avec 100 $ et que nous composons continuellement à 8% sur trois ans, la richesse finale est donnée par:

L'actualisation à la valeur actuelle (PV) est simplement une composition inverse, de sorte que la valeur actuelle d'une valeur future (F) composée de manière continue à un taux de ( r _c ) est donnée par:

Par exemple, si vous allez recevoir 100 dollars en trois ans avec un taux continu de 6%, sa valeur actuelle est donnée par:

Mise à l'échelle sur plusieurs périodes

La propriété commode des rendements composés continuellement est qu’ils s’échelonnent sur plusieurs périodes. Si le rendement de la première période est de 4% et celui de la deuxième période de 3%, le rendement des deux périodes est de 7%. Considérons que nous commençons l'année avec 100 $, ce qui passe à 120 $ à la fin de la première année, puis à 150 $ à la fin de la deuxième année. Les rendements composés de façon continue sont respectivement de 18, 23% et 22, 31%.

Si nous additionnons simplement ces éléments ensemble, nous obtenons 40, 55%. Voici le retour sur deux périodes:

Techniquement, le retour continu est cohérent dans le temps. La cohérence temporelle est une exigence technique pour la valeur à risque (VAR). Cela signifie que si un retour à une période est une variable aléatoire normalement distribuée, nous voulons que les variables aléatoires à plusieurs périodes soient également distribuées normalement. De plus, le rendement composé sur plusieurs périodes et continuellement composé est normalement distribué (contrairement à, par exemple, un rendement en pourcentage simple).

Le résultat final

Nous pouvons reformuler les taux d'intérêt annuels en taux d'intérêt (ou taux de rendement) semestriels, trimestriels, mensuels ou quotidiens. La composition la plus fréquente est la composition continue, ce qui nous oblige à utiliser une fonction logarithmique naturelle et une fonction exponentielle, couramment utilisée en finance en raison de ses propriétés souhaitables - elle évolue facilement sur plusieurs périodes et sa cohérence dans le temps.