Relation linéaire Définition

Qu'est-ce qu'une relation linéaire?

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre une variable et une constante. Les relations linéaires peuvent être exprimées dans un format graphique où la variable et la constante sont connectées via une ligne droite ou dans un format mathématique dans lequel la variable indépendante est multipliée par le coefficient de pente, ajouté par une constante, qui détermine la variable dépendante.

Une relation linéaire peut être contrastée avec une relation polynomiale ou non linéaire (courbe).

Points clés à retenir

• Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre une variable et une constante.
• Les relations linéaires peuvent être exprimées sous forme graphique ou sous forme d'équation mathématique de la forme y = mx + b.
• Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne.

L'équation linéaire est:

Mathématiquement, une relation linéaire est une relation qui vérifie l'équation:

y = mx + bwhere: m = penteb = y-interception \ begin {aligné} & y = mx + b \\ & \ textbf {où:} \\ & m = \ text {pente} \\ & b = \ text {y -intercept} \\ \ end {aligné} y = mx + b où: m = penteb = y-intercept

Dans cette équation, «x» et «y» sont deux variables liées par les paramètres «m» et «b». Graphiquement, y = mx + b dans le plan xy sous forme de lignes avec une pente «m» et une ordonnée à l'origine «b». L'ordonnée à l'origine «b» est simplement la valeur de «y» lorsque x = 0. La pente «m» est calculée à partir de deux points individuels (x ₁, y ₁ ) et (x ₂, y ₂ ) comme suit:

m = (y2 − y1) (x2 − x1) m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} m = (x2 −x1) (y2 −y1)

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Relation linéaire

Que vous dit une relation linéaire?

Une équation doit répondre à trois ensembles de critères nécessaires pour être considérée comme une équation linéaire: une équation exprimant une relation linéaire ne peut pas comporter plus de deux variables, toutes les variables d’une équation devant être à la première puissance., et l’équation doit représenter graphiquement une ligne droite.

Une fonction linéaire en mathématiques est une fonction qui vérifie les propriétés d'additivité et d'homogénéité. Les fonctions linéaires respectent également le principe de superposition, selon lequel la sortie nette de deux entrées ou plus est égale à la somme des sorties des entrées individuelles. Une relation linéaire couramment utilisée est une corrélation, qui décrit comment une variable change de manière linéaire en modification d'une autre variable.

En économétrie, la régression linéaire est une méthode souvent utilisée pour générer des relations linéaires afin d’expliquer divers phénomènes. Cependant, toutes les relations ne sont pas linéaires. Certaines données décrivent des relations qui sont courbes (telles que des relations polynomiales) alors que d'autres données ne peuvent toujours pas être paramétrées.

Fonctions linéaires

Le concept de fonction linéaire est mathématiquement similaire à une relation linéaire. Dans une variable, une fonction linéaire peut être écrite comme suit:

f (x) = mx + bwhere: m = penteb = y-interception \ begin {aligné} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {où:} \\ & m = \ text {pente} \\ & b = \ text {y-ordcept} \\ \ end {aligné} f (x) = mx + b où: m = penteb = y-intercept

Ceci est identique à la formule donnée pour une relation linéaire sauf que le symbole f (x) est utilisé à la place de y. Cette substitution est faite pour mettre en évidence le fait que x est mappé sur f (x), alors que l’utilisation de y indique simplement que x et y sont deux quantités, reliées par A et B.

Dans l’étude de l’algèbre linéaire, les propriétés des fonctions linéaires sont largement étudiées et rigoureuses. Soit un scalaire C et deux vecteurs A et B de R ^N, la définition la plus générale d'une fonction linéaire est la suivante: c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B) c \ fois f (A + B) = c \ fois f (A) + c \ fois f (B) c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Exemples de relations linéaires

Exemple 1

Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne. Prenons le concept de vitesse par exemple. La formule utilisée pour calculer la vitesse est la suivante: le taux de vitesse est la distance parcourue dans le temps. Si une camionnette blanche Chrysler Town and Country 2007 se déplace entre Sacramento et Marysville en Californie, sur un tronçon de 64 km sur la route 99, et que le trajet complet dure 40 minutes, elle aura parcouru un peu moins de 100 km / h.

Bien qu'il y ait plus de deux variables dans cette équation, il s'agit toujours d'une équation linéaire, car l'une des variables sera toujours une constante (distance).

Exemple 2

Une relation linéaire peut également être trouvée dans l'équation distance = taux x temps. La distance étant un nombre positif (dans la plupart des cas), cette relation linéaire serait exprimée dans le quadrant supérieur droit d'un graphique doté d'un axe X et d'un axe Y.

Si un vélo fait pour deux se déplaçait à une vitesse de 30 km / h pendant 20 heures, le coureur finirait par parcourir 600 km. Représentée graphiquement avec la distance sur l’axe des Y et le temps sur l’axe des X, une ligne de suivi de la distance sur ces 20 heures s’écarterait de la convergence des axes X et Y.

Exemple 3

Afin de convertir Celsius en Fahrenheit ou Fahrenheit en Celsius, utilisez les équations ci-dessous. Ces équations expriment une relation linéaire sur un graphique:

° C = 59 (° F − 32) \ degré C = \ frac {5} {9} (\ degré F - 32) ° C = 95 (° F − 32)

° F = 95 (° C + 32) \ degré F = \ frac {9} {5} (\ degré C + 32) ° F = 59 (° C + 32)

Exemple 4

Supposons que la variable indépendante soit la taille d'une maison (mesurée en pieds carrés) qui détermine le prix du marché d'une maison (la variable dépendante) lorsqu'elle est multipliée par le coefficient de pente de 207, 65 et ensuite ajoutée au terme constant de 10 500 $. . Si la superficie d'une maison est de 1 250 pieds carrés, sa valeur marchande est de (1 250 x 207, 65) + 10 500 $ = 270 062, 50 $. Graphiquement et mathématiquement, il se présente comme suit:

Dans cet exemple, lorsque la taille de la maison augmente, la valeur marchande de la maison augmente de manière linéaire.

Certaines relations linéaires entre deux objets peuvent être appelées une "constante de proportionnalité". Cette relation apparaît comme

Y = k × X où: k = constantY, X = quantités proportionnelles \ début {aligné} & Y = k \ fois X \\ & \ textbf {où:} \\ & k = \ text {constant} \\ & Y, X = \ text {quantités proportionnelles} \\ \ end {alignées} Y = k × X où: k = constantY, X = quantités proportionnelles

Lors de l'analyse des données comportementales, il existe rarement une relation linéaire parfaite entre les variables. Cependant, des lignes de tendance peuvent être trouvées dans les données qui constituent une version approximative d'une relation linéaire. Par exemple, vous pouvez considérer la vente de crème glacée et le nombre de visites à l'hôpital comme les deux variables en jeu dans un graphique et trouver une relation linéaire entre les deux.

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