Comprendre le modèle de tarification des options binomiales

Convenir d'un prix précis pour tout actif négociable est un défi - c'est pourquoi les cours des actions changent constamment. En réalité, les entreprises ne changent guère de valorisation au jour le jour, mais le cours de leurs actions et leurs évaluations changent presque toutes les secondes. Cette difficulté à parvenir à un consensus sur une tarification correcte de tout actif négociable crée des opportunités d'arbitrage de courte durée.

Mais beaucoup d'investissements réussis se résument à une simple question d'évaluation actuelle: quel est le bon prix actuel aujourd'hui pour un gain futur attendu?

Évaluation des options binominales

Sur un marché concurrentiel, pour éviter les opportunités d'arbitrage, les actifs dotés de structures de paiement identiques doivent avoir le même prix. L’évaluation des options a été une tâche difficile et les variations de prix conduisent à des opportunités d’arbitrage. Black-Scholes reste l'un des modèles les plus populaires utilisés pour les options de tarification, mais a des limites.

Le modèle de tarification des options binomiales est une autre méthode couramment utilisée pour les options de tarification.

Exemples

Supposons qu’il existe une option d’achat sur une action particulière dont le prix du marché actuel est de 100 USD. L'option à la monnaie (ATM) a un prix de levée de 100 USD avec un délai d'expiration d'un an. Deux négociants, Peter et Paula, conviennent tous deux que le cours des actions atteindra 110 USD ou baissera à 90 USD dans un an.

Ils s'accordent sur les niveaux de prix attendus dans un délai donné d'un an mais ne sont pas d'accord sur la probabilité d'un mouvement haussier ou baissier. Peter estime que la probabilité que le cours de l'action atteigne 110 USD soit de 60%, tandis que Paula estime qu'il est de 40%.

Sur cette base, qui serait disposé à payer plus pour l'option d'achat? Peut-être Peter, car il s'attend à une forte probabilité de progression.

Calcul des options binominales

Les deux actifs sur lesquels repose l'évaluation sont l'option d'achat et le stock sous-jacent. Les participants sont convenus que le prix de l’action sous-jacente peut passer de 100 $ actuellement à 110 $ ou 90 $ en un an et qu’il n’ya pas d’autre évolution possible du prix.

Dans un monde sans arbitrage, si vous devez créer un portefeuille composé de ces deux actifs, une option d'achat et une action sous-jacente, de sorte que, quel que soit le prix sous-jacent - 110 $ ou 90 $ - le rendement net du portefeuille reste toujours le même. . Supposons que vous achetiez des actions "d" d'une option d'achat sous-jacente et à court terme pour créer ce portefeuille.

Si le prix atteint 110 USD, vos actions valent 110 USD * j et vous perdrez 10 USD lors du remboursement de l'appel à court terme. La valeur nette de votre portefeuille sera de (110d - 10).

Si le prix baisse à 90 USD, vos actions valent 90 USD * d et l'option expirera sans valeur. La valeur nette de votre portefeuille sera de (90d).

Si vous souhaitez que la valeur de votre portefeuille reste la même quel que soit le cours de l'action sous-jacente, la valeur de votre portefeuille doit rester la même dans les deux cas:

h (d) −m = l (d) où: h = Prix sous-jacent potentiel le plus élevé = Nombre d’actions sous-jacentesm = Argent perdu lors du paiement à l’appel court = Prix sous-jacent potentiel le plus bas \ begin {aligné} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {où:} \\ & h = \ text {Prix sous-jacent potentiel le plus élevé} \\ & d = \ text {Nombre d'actions sous-jacentes} \\ & m = \ text {Argent perdu en cas de remboursement d'appels à découvert}} \\ & l = \ text {Prix sous-jacent potentiel le plus bas} \\ \ end {aligné} h (d) −m = l (d) où: h = Prix sous-jacent potentiel le plus élevé = Nombre d'actions sous-jacentesm = Argent perdu à court terme payoffl = Prix sous-jacent potentiel le plus bas

Donc, si vous achetez une demi-part, en supposant que des fractions d’achat soient possibles, vous parviendrez à créer un portefeuille afin que sa valeur reste la même dans les deux états possibles dans le délai imparti d’un an.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {aligné} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {aligné} 110d − 10 = 90dd = 21

Cette valeur de portefeuille, indiquée par (90d) ou (110d - 10) = 45, est à un an. Pour calculer sa valeur actuelle, il peut être actualisé par le taux de rendement sans risque (en supposant 5%).

Valeur actuelle = 90d × e (−5% × 1 an) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ begin {aligné} \ text {Valeur actuelle} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Année})} \\ & = 45 \ fois 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {aligné} Valeur actuelle = 90d × e (−5% × 1 an) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Étant donné qu’à l’heure actuelle, le portefeuille est composé d’une demi-part d’actions sous-jacentes (avec un prix de marché de 100 dollars) et d’un court call, il devrait correspondre à la valeur actuelle.

12 × 100−1 × Prix de l'appel = 42, 85 $ Prix de l'appel = 7, 14 $, soit le prix de l'appel d'aujourd'hui \ begin {aligné} & \ frac {1} {2} \ fois 100 - 1 \ times \ text {Prix de l'appel} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Prix de l'appel} = \ 7, 14 € \ text {, c'est-à-dire le prix de l'appel d'aujourd'hui} \\ \ end {aligné} 21 × 100−1 × Prix de l'appel = 42, 85 $ Prix de l'appel = 7, 14 $, soit le prix d'appel d'aujourd'hui

Étant donné que ceci est basé sur l'hypothèse que la valeur du portefeuille reste la même quelle que soit l'orientation du prix sous-jacent, la probabilité d'un mouvement haussier ou baissier ne joue aucun rôle. Le portefeuille reste sans risque, quels que soient les mouvements de prix sous-jacents.

Dans les deux cas (supposés passer à 110 $ et à 90 $), votre portefeuille est neutre face au risque et génère le taux de rendement sans risque.

Par conséquent, les deux opérateurs, Peter et Paula, seraient disposés à payer la même somme de 7, 14 USD pour cette option d'achat, malgré des perceptions divergentes des probabilités de hausse des taux (60% et 40%). Leurs probabilités perçues individuellement n'ont pas d'importance dans l'évaluation des options.

En supposant au contraire que les probabilités individuelles soient importantes, des opportunités d'arbitrage peuvent s'être présentées. Dans le monde réel, de telles possibilités d'arbitrage existent avec des différences de prix mineures et disparaissent à court terme.

Mais où est la volatilité tant attendue dans tous ces calculs, un facteur important et sensible qui affecte le prix des options?

La volatilité est déjà comprise dans la nature de la définition du problème. En supposant deux (et seulement deux - d'où le nom «binomial») d'états de prix (110 $ et 90 $), la volatilité est implicite dans cette hypothèse et incluse automatiquement (10% dans les deux cas dans cet exemple).

Black-Scholes

Mais cette approche est-elle correcte et cohérente avec les tarifs Black-Scholes couramment utilisés? Les résultats du calculateur d’options (gracieuseté de l’OCI) correspondent étroitement à la valeur calculée:

Malheureusement, le monde réel n’est pas aussi simple que «deux États seulement». L’action peut atteindre plusieurs niveaux de prix avant l’expiration.

Est-il possible d'inclure tous ces niveaux multiples dans un modèle tarifaire binomial limité à deux niveaux ">

Mathématiques simples

Pour généraliser ce problème et sa solution:

"X" est le prix actuel du marché d'une action et "X * u" et "X * d" sont les prix futurs des mouvements de haut en bas "t" des années plus tard. Le facteur "u" sera supérieur à un car il indique un mouvement ascendant et "d" sera compris entre zéro et un. Pour l'exemple ci-dessus, u = 1, 1 et d = 0, 9.

Les paiements des options d'achat sont "P _up " et "P _dn " pour les mouvements de va-et-vient au moment de l'expiration.

Si vous créez un portefeuille d’actions "s" achetées aujourd’hui et que vous vendez une option d’achat, une fois le délai "t" terminé:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Valeur du portefeuille en cas de mouvement croissant \ begin {aligné} & \ text {VUM} = s \ fois X \ fois u - P_ \ text {haut} \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valeur du portefeuille en cas de hausse} \\ \ end {aligné} VUM = s × X × u − Pup où: VUM = Valeur du portefeuille en cas de hausse

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Valeur du portefeuille en cas de mouvement vers le bas \ begin {aligné} & \ text {VDM} = s \ fois X \ fois d - P_ \ text {bas} \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valeur du portefeuille en cas de chute} \\ \ end {aligné} VDM = s × X × d − Pdown où: VDM = Valeur du portefeuille en cas de baisse

Pour une valorisation similaire dans les deux cas de mouvement de prix:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ fois X \ fois u - P_ \ text {haut} = s \ fois X \ fois d - P_ \ text {bas} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Le nombre d'actions à acheter pour = un portefeuille sans risque \ begin {aligné} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Le nombre d'actions à acheter pour} \\ & \ phantom {=} \ text {un portefeuille sans risque} \\ \ end {aligné} s = X × (u-d) Pup −Pdown = Le nombre d'actions à acheter pour = un portefeuille sans risque

La valeur future du portefeuille à la fin des "t" années sera la suivante:

En cas de mouvement vers le haut = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {aligné} \ text {En cas de mouvement en haut} & = s \ fois X \ fois u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {aligné} En cas de Déplacement vers le haut = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

En cas de mouvement vers le bas = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {aligné} \ text {En cas de mouvement vers le bas} & = s \ fois X \ fois d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {aligné} En cas de Descendre = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

La valeur actuelle peut être obtenue en l’actualisant avec le taux de rendement sans risque:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] où: PV = Valeur actuelle = Taux de rendementt = Temps, en années \ begin {aligné} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { où:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valeur actuelle} \\ & r = \ text {Taux de rendement} \\ & t = \ text {Temps, en années} \\ \ end {aligné} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] où: PV = évaluateur du jour actuel = taux de rendementt = temps, en années

Cela doit correspondre à la détention du portefeuille d’actions "s" au prix X, et la valeur d’achat courte "c" (la détention actuelle de (s * X - c) devrait correspondre à ce calcul.) La résolution pour "c" lui donne finalement comme:

Remarque: si la prime d’appel est réduite, il convient de l’ajouter au portefeuille et non d’en faire une soustraction.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown]

Une autre façon d’écrire l’équation est de la réorganiser:

Prendre "q" comme:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Alors l'équation devient:

c = e (-rt) × (q × Pup + (1-q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ text {down}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Réorganiser l'équation en termes de «q» a offert une nouvelle perspective.

Vous pouvez maintenant interpréter «q» comme la probabilité de progression du sous-jacent (puisque «q» est associé à P _up et «1-q» est associé à P _dn ). Globalement, l'équation représente le prix d'option du jour, la valeur actualisée de son gain à l'échéance.

Ce "Q" est différent

En quoi cette probabilité «q» est-elle différente de la probabilité d’un mouvement ascendant ou descendant du sous-jacent ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d où: VSP = Valeur du cours de l'action au temps t \ begin {aligné} & \ text {VSP} = q \ fois X \ fois u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {où:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valeur du cours de l'action à la date du jour} t \\ \ end {aligné} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × où: VSP = Valeur du cours de l'action au temps t

En substituant la valeur de "q" et en réarrangeant, le cours de l'action au temps "t" revient à:

Cours de bourse = e (rt) × X \ début {aligné} & \ text {Cours de bourse} = e (rt) \ fois X \\ \ end {aligné} Cours de bourse = e (rt) × X

Dans ce monde supposé de deux États, le cours de l'action augmente simplement du taux de rendement sans risque, exactement comme un actif sans risque, et il reste donc indépendant de tout risque. Les investisseurs sont indifférents au risque dans le cadre de ce modèle, qui constitue donc le modèle neutre en matière de risque.

Les probabilités «q» et «(1-q)» sont appelées probabilités neutres au risque et la méthode d’évaluation est connue sous le nom de modèle d’évaluation neutre au risque.

L'exemple de scénario comporte une exigence importante: la structure de paiement future est requise avec précision (niveaux de 110 et 90 dollars). Dans la réalité, une telle clarté sur les niveaux de prix par paliers n'est pas possible; le prix fluctue plutôt de manière aléatoire et peut s'installer à plusieurs niveaux.

Pour développer davantage l’exemple, supposons que des niveaux de prix en deux étapes soient possibles. Nous connaissons les retombées finales de la deuxième étape et nous devons évaluer l'option aujourd'hui (à l'étape initiale):

En travaillant en arrière, la première étape intermédiaire d'évaluation (à t = 1) peut être effectuée à l'aide des paiements finaux à l'étape deux (t = 2), puis à l'aide de ces évaluations calculées de première étape (t = 1), l'évaluation actuelle (t = 0) peut être atteint avec ces calculs.

Pour obtenir le prix des options au numéro deux, les gains à quatre et cinq sont utilisés. Pour obtenir le prix pour le numéro trois, les gains à cinq et six sont utilisés. Enfin, les gains calculés à deux et trois sont utilisés pour obtenir les prix au numéro un.

Veuillez noter que cet exemple suppose le même facteur pour les mouvements ascendants (et descendants) aux deux étapes - u et d sont appliqués de manière composée.

Un exemple de travail

Supposons qu'une option de vente avec un prix d'exercice de 110 USD se négocie actuellement à 100 USD et expire dans un an. Le taux annuel sans risque est de 5%. Le prix devrait augmenter de 20% et diminuer de 15% tous les six mois.

Ici, u = 1, 2 et d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

en utilisant la formule dérivée ci-dessus de

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

on obtient q = 0.35802832

valeur de l'option de vente au point 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1-q) Pupdn) où: p = Prix de l'option de vente \ begin {aligné} & p_2 = e (-rt) \ fois (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {où:} \\ & p = \ text {Prix de l'option de vente} \\ \ end {aligné} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) où: p = Prix de l'option de vente

À la condition _up-up P, le sous-jacent sera = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 USD conduisant à une _augmentation P = zéro

A la condition P _updn, le sous-jacent sera = 100 * 1.2 * 0.85 = 102 $ conduisant à P _updn = 8 $

A la condition _Pndn, le sous-jacent sera = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD conduisant à _Pndn = 37, 75 USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

De même, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (-rt) × (q × p2 + (1-q) p3) p_1 = e (-rt) \ fois (q \ fois p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (-rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Et par conséquent la valeur de l'option de vente, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 $.

De même, les modèles binomiaux vous permettent de diviser la durée totale de l’option pour affiner davantage les étapes et les niveaux. À l’aide de programmes informatiques ou de feuilles de calcul, vous pouvez revenir en arrière étape par étape pour obtenir la valeur actuelle de l’option souhaitée.

Un autre exemple

Supposons une option de vente de type européen avec un délai d’expiration de neuf mois, un prix d’exercice de 12 $ et un prix sous-jacent actuel de 10 $. Supposons un taux sans risque de 5% pour toutes les périodes. Supposons tous les trois mois que le prix sous-jacent peut augmenter ou diminuer de 20%, ce qui nous donne u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 et un arbre binomial à trois étapes.

Le rouge indique les prix sous-jacents, tandis que le bleu indique le rendement des options de vente.

La probabilité "q" de risque-neutre est calculée à 0, 531446.

En utilisant la valeur ci-dessus de "q" et les valeurs de remboursement à t = neuf mois, les valeurs correspondantes à t = six mois sont calculées comme suit:

En outre, en utilisant ces valeurs calculées à t = 6, les valeurs à t = 3 puis à t = 0 sont les suivantes:

Cela donne la valeur actuelle d'une option de vente à 2, 18 $, ce qui est assez proche de ce que vous constateriez en faisant les calculs à l'aide du modèle Black-Scholes (2, 30 $).

Le résultat final

Bien que l'utilisation de programmes informatiques puisse faciliter ces calculs intensifs, la prévision des prix futurs reste une limitation majeure des modèles binomiaux pour la détermination du prix des options. Plus les intervalles de temps sont fins, plus il est difficile de prévoir les retombées à la fin de chaque période avec une précision de haut niveau.

Toutefois, la possibilité d’incorporer les modifications attendues au cours de différentes périodes est un atout, ce qui permet de mieux évaluer les options américaines, y compris les évaluations en cas d’exercice anticipé.

Les valeurs calculées à l'aide du modèle binomial correspondent étroitement à celles calculées à partir d'autres modèles couramment utilisés tels que Black-Scholes, ce qui indique l'utilité et la précision des modèles binomiaux pour la détermination du prix des options. Les modèles de tarification binomiaux peuvent être développés en fonction des préférences du commerçant et peuvent constituer une alternative à Black-Scholes.