Définition du théorème de Bayes
Le théorème de Bayes, nommé d'après le mathématicien britannique du 18ème siècle, Thomas Bayes, est une formule mathématique permettant de déterminer la probabilité conditionnelle. Le théorème fournit un moyen de réviser les prédictions ou théories existantes (probabilités de mise à jour) à partir de preuves nouvelles ou supplémentaires. En finance, le théorème de Bayes peut être utilisé pour évaluer le risque de prêt d'argent à des emprunteurs potentiels.
Le théorème de Bayes est également appelé règle de Bayes ou loi de Bayes et constitue le fondement du domaine de la statistique bayésienne.
Points clés à retenir
- Le théorème de Bayes vous permet de mettre à jour les probabilités prédites d'un événement en incorporant de nouvelles informations.
- Le théorème de Bayes a été nommé d'après le mathématicien Thomas Bayes du 18ème siècle.
- Il est souvent employé en finance pour mettre à jour l'évaluation des risques.
La formule pour le théorème de Bayes est
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) P (B∣A) P (B) où: P (A) = La probabilité que A se produiseP (B) = La probabilité que B se produiseP (A∣B) = La probabilité de BP donnée (B∣A) = La probabilité de B donnée AP (A⋂B)) = La probabilité que A et B se rencontrent \ begin {alignés} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {où:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {La probabilité que A se produise} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {La probabilité que B se produise} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {La probabilité d'un B donné} }\\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {La probabilité de B donnée A} \\ & P \ gauche (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {La probabilité que A et B se produisent à la fois} \\ \ end {alignée} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) P (B∣A) où: P (A) = La probabilité que A se produiseP (B) = La probabilité de B survenantP (A∣B) = probabilité de A donnée (B∣A) = probabilité de B donnée AP (A⋂B)) = probabilité que A et B se produisent
Le théorème de Bayes expliqué
Les applications du théorème sont répandues et ne se limitent pas au domaine financier. À titre d'exemple, le théorème de Bayes peut être utilisé pour déterminer l'exactitude des résultats de tests médicaux en prenant en compte la probabilité qu'une personne donnée soit atteinte d'une maladie et l'exactitude générale du test. Le théorème de Bayes repose sur l'incorporation de distributions de probabilité antérieures afin de générer des probabilités postérieures. La probabilité préalable, dans l'inférence statistique bayésienne, est la probabilité d'un événement avant la collecte de nouvelles données. C'est la meilleure évaluation rationnelle de la probabilité d'un résultat basée sur les connaissances actuelles avant la réalisation d'une expérience. La probabilité postérieure est la probabilité révisée qu'un événement se produise après la prise en compte de nouvelles informations. La probabilité a posteriori est calculée en mettant à jour la probabilité précédente en utilisant le théorème de Bayes. En termes statistiques, la probabilité postérieure est la probabilité que l’événement A se produise étant donné que l’événement B s’est produit.
Le théorème de Bayes donne donc la probabilité d'un événement sur la base de nouvelles informations qui sont ou peuvent être liées à cet événement. La formule peut également être utilisée pour voir comment la probabilité qu'un événement se produise est affectée par de nouvelles informations hypothétiques, en supposant que les nouvelles informations se révèlent vraies. Par exemple, supposons qu'une seule carte soit tirée d'un jeu complet de 52 cartes. La probabilité que la carte soit un roi est 4 divisée par 52, ce qui équivaut à 1/13 ou environ 7, 69%. Rappelez-vous qu'il y a 4 rois dans le pont. Supposons maintenant que la carte sélectionnée est une carte de visage. La probabilité que la carte sélectionnée soit un roi, étant donné que c'est une carte visage, est divisée par 4 par 12, ou environ 33, 3%, car il y a 12 cartes faciales dans un deck.
Dériver la formule du théorème de Bayes avec un exemple
Le théorème de Bayes découle simplement des axiomes de la probabilité conditionnelle. La probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement étant donné qu'un autre événement s'est produit. Par exemple, une question de probabilité simple peut demander: "Quelle est la probabilité que le cours de l'action Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) baisse?" La probabilité conditionnelle va encore plus loin dans cette question en demandant: "Quelle est la probabilité que le cours de l'action AMZN baisse en raison de la chute antérieure de l'indice Dow Jones Industrial Average (DJIA)?"
La probabilité conditionnelle de A étant donné que B est arrivé peut être exprimée comme suit:
Si A est: "Le prix de l'AMZN baisse", alors P (AMZN) est la probabilité que l'AMZN baisse; et B est: "DJIA est déjà en panne" et P (DJIA) est la probabilité que le DJIA soit tombé; l'expression de probabilité conditionnelle se lit alors comme suit: "la probabilité que l'AMZN chute compte tenu de la baisse de DJIA est égale à la probabilité de baisse du prix de l'AMZN et de la baisse de DJIA par rapport à la probabilité d'une baisse de l'indice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN et DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN et DJIA) est la probabilité que A et B se produisent. C'est également la même chose que la probabilité que A se produise multipliée par la probabilité que B se produise étant donné que A se produit, exprimé par P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Le fait que ces deux expressions soient égales conduit au théorème de Bayes, qui s'écrit:
si, P (AMZN et DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
alors, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Où P (AMZN) et P (DJIA) sont les probabilités de chute d'Amazon et du Dow Jones, sans se prendre en compte.
La formule explique la relation entre la probabilité de l'hypothèse avant de voir la preuve que P (AMZN), et la probabilité de l'hypothèse après l'obtention de la preuve P (AMZN | DJIA), à partir d'une hypothèse donnée par Amazon dans le Dow.
Exemple numérique du théorème de Bayes
Comme exemple numérique, imaginons qu’un test de dépistage de drogue soit précis à 98%, c’est-à-dire que 98% du temps, il montre un résultat véritablement positif pour le consommateur et 98% du temps, un résultat véritablement négatif pour les non-utilisateurs. drogue. Ensuite, supposons que 0, 5% des personnes utilisent le médicament. Si une personne sélectionnée au hasard teste positif pour le médicament, le calcul suivant peut être effectué pour déterminer si la probabilité est réellement un utilisateur du médicament.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))]] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Le théorème de Bayes montre que même si une personne est testée positive dans ce scénario, il est en réalité beaucoup plus probable qu'elle ne soit pas un utilisateur du médicament.
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