Exploration de la moyenne mobile pondérée de manière exponentielle

La volatilité est la mesure de risque la plus courante, mais elle se décline en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple. Dans cet article, nous allons améliorer la volatilité simple et discuter de la moyenne mobile pondérée de manière exponentielle (EWMA).

Volatilité historique et implicite

Tout d’abord, mettons cette métrique en perspective. Il existe deux approches générales: la volatilité historique et la volatilité implicite (ou implicite). L’approche historique suppose que le passé est un prologue; nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle est prédictive. La volatilité implicite, en revanche, ignore l'histoire; cela résout la volatilité impliquée par les prix du marché. Il espère que le marché sait le mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation consensuelle de la volatilité.

Si nous nous concentrons uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes communes:

1. Calculer la série de déclarations périodiques
2. Appliquer un système de pondération

Premièrement, nous calculons le rendement périodique. Il s’agit généralement d’une série de rendements quotidiens où chaque rendement est exprimé en termes composés de façon continue. Pour chaque jour, nous prenons le logarithme naturel du ratio du prix des actions (c.-à-d. Le prix aujourd'hui divisé par le prix d'hier, etc.).

ui = lnsisi − 1where: ui = rendement le jour isi = cours de bourse le jour isi − 1 = cours de bourse le jour précédant le jour i \ begin {aligné} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {où:} \\ & u_i = \ text {retour le jour} i \\ & s_i = \ text {cours de bourse le jour} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {cours de bourse le jour avant le jour} i \\ \ end {aligné} ui = lnsi − 1 si où: ui = retour le jour isi = cours de bourse le jour isi − 1 = cours de bourse le jour avant jour i Un séjour sans faille

Cela produit une série de rendements quotidiens, de u _i à u _im, en fonction du nombre de jours (m = jours) que nous mesurons.

Cela nous amène à la deuxième étape: c’est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent, nous avons montré que, sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 où: m = nombre de jours mesurésn = dayiu = différence de rendement par rapport au rendement moyen \ begin {aligné} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {où:} \\ & m = \ text {nombre de jours mesurés} \\ & n = \ text {jour} i \\ & u = \ text {différence de rendement par rapport au rendement moyen} \\ \ end {alignée} variance = σn2 = m1 i = 1m un − 12 où: m = nombre de jours mesurésn = dayiu = différence de retour de la moyenne

Notez que cela additionne chaque déclaration périodique, puis divise ce total par le nombre de jours ou d'observations (m). Il ne s’agit donc que d’une moyenne des rendements périodiques au carré. En d'autres termes, chaque retour carré reçoit un poids égal. Donc, si alpha (a) est un facteur de pondération (en particulier, a = 1 / m), une variance simple ressemble à ceci:

L'EWMA améliore la variance simple
La faiblesse de cette approche est que tous les retours gagnent le même poids. Le rendement d'hier (très récent) n'a pas plus d'influence sur la variance que le rendement du mois dernier. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA), dans laquelle les rendements les plus récents pèsent davantage sur la variance.

La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) introduit le lambda, appelé paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Dans cette condition, au lieu d’égales pondérations, chaque retour au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit:

Par exemple, RiskMetrics ^TM _, une société de gestion des risques financiers, utilise généralement un lambda de 0, 94, ou 94%. Dans ce cas, le premier retour périodique carré (le plus récent) est pondéré par (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. Le prochain retour au carré est simplement un multiple lambda du poids précédent; dans ce cas, 6% multiplié par 94% = 5, 64%. Et le poids du troisième jour précédent est égal à (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

C'est le sens du terme "exponentiel" dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c.-à-d. Lambda, qui doit être inférieur à un) du poids du jour précédent. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. La différence entre simplement la volatilité et EWMA pour Google est illustrée ci-dessous.

La volatilité simple pèse effectivement chaque rendement périodique de 0, 196%, comme indiqué dans la colonne O (nous disposions des données quotidiennes du prix des actions. Cela correspond à 509 rendements quotidiens et à 1/509 = 0, 196%). Mais notez que la colonne P attribue une pondération de 6%, puis de 5, 64%, puis de 5, 3%, etc. C'est la seule différence entre la variance simple et l'EWMA.

Rappelez-vous: après avoir additionné toute la série (colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart type. Si nous voulons de la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance.

Quelle est la différence de volatilité quotidienne entre la variance et EWMA dans le cas de Google ">

La variance d'aujourd'hui est une fonction de la variance du jour précédent

Vous remarquerez qu'il nous fallait calculer une longue série de pondérations en déclin exponentiel. Nous ne ferons pas le calcul ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que toute la série se réduit facilement à une formule récursive:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 où: λ = degré de diminution de pondérationσ2 = valeur à la période nu2 = valeur de EWMA à la période n \ begin {alignée} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {où:} \\ & \ lambda = \ text {le degré de diminution de la pondération} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valeur à la période} n \\ & u ^ 2 = \ text {valeur de EWMA à la période} n \\ \ end {aligné} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 où: λ = le degré de diminution de la pondérationσ2 = la valeur à la période nu2 = la valeur de l'EWMA à la période n

Récursif signifie que les références de variance actuelles (c'est-à-dire en fonction de la variance du jour précédent). Vous pouvez également trouver cette formule dans la feuille de calcul et obtenir exactement le même résultat que le calcul à long terme! Il dit: la variance d'aujourd'hui (sous EWMA) est égale à la variance d'hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d'hier (pondéré par un moins lambda). Remarquez que nous additionnons simplement deux termes: la variance pondérée d’hier et le rendement pondéré au carré d’hier.

Cependant, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme 94% de RiskMetric) indique une décroissance plus lente de la série - en termes relatifs, nous aurons plus de points de données dans la série et ils "tomberont" plus lentement. D'autre part, si nous réduisons le lambda, nous induirons une décroissance plus élevée: les poids chuteront plus rapidement et, en conséquence directe de la décroissance rapide, moins de points de données seront utilisés. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, vous pouvez donc expérimenter avec sa sensibilité).

Sommaire
La volatilité est l'écart type instantané d'un stock et la mesure de risque la plus courante. C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance de manière historique ou implicite (volatilité implicite). Lors de mesures historiques, la méthode la plus simple est la simple variance. Mais la faiblesse avec la variance simple est que tous les rendements ont le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous en avons, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée de manière exponentielle (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des pondérations aux déclarations périodiques. Ce faisant, nous pouvons utiliser un échantillon de grande taille, mais aussi accorder plus de poids aux déclarations plus récentes.