Comment utiliser la simulation Monte Carlo avec GBM

L’utilisation d’une simulation de Monte Carlo (MCS) est l’un des moyens les plus courants d’estimer le risque. Par exemple, pour calculer la valeur à risque (VaR) d’un portefeuille, nous pouvons exécuter une simulation Monte Carlo qui tente de prédire la pire perte probable pour un portefeuille en fonction d’un intervalle de confiance sur un horizon temporel spécifié (il faut toujours spécifier deux valeurs). conditions de la VaR: confiance et horizon).

Dans cet article, nous examinerons un MCS de base appliqué à un cours d’action à l’aide d’un des modèles les plus courants en finance: le mouvement brownien géométrique (GBM). Par conséquent, bien que la simulation Monte Carlo puisse faire référence à un univers de différentes approches de la simulation, nous commencerons ici par la plus fondamentale.

Où commencer

Une simulation de Monte Carlo est une tentative de prédire l'avenir à plusieurs reprises. À la fin de la simulation, des milliers ou des millions d '"essais aléatoires" produisent une distribution des résultats pouvant être analysés. Les étapes de base sont les suivantes:

1. Spécifiez un modèle (par exemple, GBM)

Pour cet article, nous allons utiliser le mouvement géométrique brownien (GBM), qui est techniquement un processus de Markov. Cela signifie que le cours de l'action suit une marche aléatoire et qu'il correspond (à tout le moins) à la forme faible de l'hypothèse d'efficience du marché (EMH) - les informations de prix passées sont déjà intégrées, et le prochain mouvement de prix est "conditionnellement indépendant". mouvements de prix passés.

La formule pour GBM se trouve ci-dessous:

Où:

• S = Le cours de l'action
• Δ S = la variation du cours de l'action
• μ = Le rendement attendu
• σ = l'écart type des retours
• ϵ = la variable aléatoire
• Δ t = la période écoulée

Si nous réorganisons la formule à résoudre uniquement pour le changement du cours de l'action, nous voyons que GBM indique que le changement du cours de l'action correspond au cours de l'action "S" multiplié par les deux termes trouvés entre parenthèses ci-dessous:

Le premier terme est une "dérive" et le second terme est un "choc". Notre modèle suppose, pour chaque période, que le prix "augmentera" en fonction du rendement attendu. Mais la dérive sera choquée (ajoutée ou soustraite) par un choc aléatoire. Le choc aléatoire sera l’écart type "s" multiplié par un nombre aléatoire "e". C’est simplement une façon de réduire l’écart type.

C’est l’essence même de la GBM, illustrée à la figure 1. Le cours de l’action suit une série d’étapes, où chaque étape correspond à une dérive plus ou moins un choc aléatoire (elle-même fonction de l’écart type du stock):

Figure 1

2. Générer des essais aléatoires

Armés d'une spécification de modèle, nous procédons ensuite à des essais aléatoires. Pour illustrer notre propos, nous avons utilisé Microsoft Excel pour exécuter 40 essais. Gardez à l'esprit qu'il s'agit d'un échantillon peu réaliste; la plupart des simulations ou "sims" exécutent au moins plusieurs milliers d'essais.

Dans ce cas, supposons que le stock commence le jour zéro avec un prix de 10 €. Voici un graphique du résultat où chaque pas de temps (ou intervalle) est un jour et la série dure dix jours (en résumé: quarante essais avec des pas quotidiens sur dix jours):

Figure 2: Mouvement brownien géométrique

Le résultat est quarante cours boursiers simulés au bout de 10 jours. Aucun n’est tombé en dessous de 9 dollars, et l’un est supérieur à 11 dollars.

3. Traiter la sortie

La simulation a produit une distribution de résultats futurs hypothétiques. Nous pourrions faire plusieurs choses avec la sortie.

Si, par exemple, nous voulons estimer la VaR avec une confiance de 95%, il nous suffit de localiser le résultat classé au trente-huitième rang (le résultat le plus défavorable). C'est parce que 2/40 est égal à 5%, donc les deux pires résultats se situent dans les 5% les plus bas.

Si nous empilons les résultats illustrés dans des groupes (chaque groupe correspond à un tiers de 1 $, donc trois groupes couvrent l'intervalle de 9 $ à 10 $), nous obtiendrons l'histogramme suivant:

figure 3

Rappelez-vous que notre modèle de GBM suppose la normalité; les rendements des prix sont normalement distribués avec le rendement attendu (moyenne) "m" et l'écart type "s". Fait intéressant, notre histogramme ne semble pas normal. En fait, avec plus d'épreuves, cela ne tendra pas à la normalité. Au lieu de cela, il tendra vers une distribution log-normale: une chute brutale à gauche de la moyenne et une "longue queue" très asymétrique à droite de la moyenne.

Cela conduit souvent à une dynamique potentiellement déroutante pour les nouveaux étudiants:

• Les prix retournés sont normalement distribués.
• Les niveaux de prix sont log-normalement distribués.

Pensez-y de cette façon: une action peut augmenter ou baisser de 5% ou 10%, mais après un certain temps, son prix ne peut pas être négatif. En outre, les hausses de prix à la hausse ont un effet composé, tandis que les baisses de prix à la baisse réduisent la base: perdez 10% et vous vous retrouvez avec moins à perdre la prochaine fois.

Voici un graphique de la distribution log-normale superposée à nos hypothèses illustrées (par exemple, prix de départ de 10 $):

Figure 4

Le résultat final

Une simulation de Monte Carlo applique un modèle sélectionné (qui spécifie le comportement d'un instrument) à un grand nombre d'essais aléatoires afin de produire un ensemble plausible de résultats futurs possibles. En ce qui concerne la simulation du prix des actions, le modèle le plus courant est le mouvement brownien géométrique (GBM). GBM suppose qu'une dérive constante est accompagnée de chocs aléatoires. Alors que les retours de période sous GBM sont normalement distribués, les niveaux de prix consécutifs sur plusieurs périodes (par exemple, dix jours) sont distribués de manière log-normale.