Macaulay Durée vs. Durée Modifiée

La durée de Macaulay et la durée modifiée sont principalement utilisées pour calculer les durées des obligations. La duration de Macaulay calcule le délai moyen pondéré avant qu’un détenteur d’obligations obtienne les flux de trésorerie de l’obligation. À l'inverse, la duration modifiée mesure la sensibilité au prix d'une obligation lorsqu'il y a une modification du rendement à l'échéance.

La durée de Macaulay

La durée de Macaulay est calculée en multipliant la période par le paiement du coupon périodique et en divisant la valeur résultante par 1 plus le rendement périodique atteint jusqu'à l'échéance. Ensuite, la valeur est calculée pour chaque période et additionnée. Ensuite, la valeur résultante est ajoutée au nombre total de périodes multiplié par la valeur nominale, divisée par 1, plus le rendement périodique généré par le nombre total de périodes. Ensuite, la valeur est divisée par le prix actuel de l'obligation.

Macaulay Duration = (t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Cours actuel de l'obligation où: C = paiement du coupon périodique = rendement périodiqueM = valeur de l'échéance de l'obligation = durée de l'obligation périodes \ begin {alignées} & \ text {Durée Macaulay} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Cours actuel des obligations}} \\ & \ textbf {où:} \\ & C = \ text {paiement périodique du coupon} \\ & y = \ text {rendement périodique} \\ & M = \ text {la valeur d'échéance de la liaison} \\ & n = \ text {durée de la liaison au cours des périodes} \\ \ end {aligné} Macaulay Duration = Prix de l'obligation actuelle (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) où: C = paiement du coupon périodique = rendement périodique M = valeur de l'échéance de l'obligation = durée du lien en périodes

Le prix d'une obligation est calculé en multipliant le flux de trésorerie par 1, moins 1, divisé par 1, plus le rendement à l'échéance, porté au nombre de périodes divisé par le rendement requis. La valeur résultante est ajoutée à la valeur nominale ou à l'échéance de l'obligation divisée par 1, augmentée du rendement à l'échéance correspondant au nombre total de périodes.

Par exemple, supposons que la duration de Macaulay d’une obligation de cinq ans d’une valeur d’échéance de 5 000 $ et d’un taux de coupon de 6% soit égale à 4, 87 ans ((1 * 60) / (1 + 60 +) (2 + 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

La duration modifiée de cette obligation, avec un rendement à l'échéance de 6% pour une période de coupon, est de 4, 59 ans (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Par conséquent, si le rendement à l'échéance augmente de 6% à 7%, la la durée de l'obligation diminuera de 0, 28 année (4, 87 - 4, 59).

La formule permettant de calculer la variation en pourcentage du prix de l'obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la duration modifiée multipliée par 100%. Ce changement de pourcentage résultant de la liaison, pour une augmentation de rendement de 1%, est calculé sur une valeur de -4, 59% (0, 01 * à 4, 59 * 100%).

La durée modifiée

Durée modifiée = Macauley Durée (1 + YTMn) où: YTM = rendement jusqu'à l'échéance \ begin {aligné} & \ text {Durée modifiée} = \ frac {\ text {Durée Macauley}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {où:} \\ & YTM = \ text {rendement à l'échéance} \\ & n = \ text {nombre de périodes de coupon par an} \ end {aligné} Modifié Durée = (1 + nYTM) Macauley Durée où: YTM = rendement à maturité

La duration modifiée est une version ajustée de la duration de Macaulay, qui tient compte de la variation du rendement en échéances. La formule de la duration modifiée correspond à la valeur de la duration de Macaulay divisée par 1, augmentée du rendement à l'échéance, divisée par le nombre de périodes de coupon par an. La duration modifiée détermine l'évolution de la duration et du prix d'une obligation pour chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.

Par exemple, supposons qu'une obligation de six ans ait une valeur nominale de 1 000 dollars et un taux de coupon annuel de 8%. La durée de Macaulay est estimée à 4, 99 ans ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

La duration modifiée de cette obligation, avec un rendement à l'échéance de 8% pour une période de coupon, est de 4, 62 ans (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Par conséquent, si le rendement à l'échéance augmente de 8% à 9%, la la durée de l'obligation diminuera de 0, 37 an (4, 99 - 4, 62).

La formule permettant de calculer la variation en pourcentage du prix de l'obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la duration modifiée multipliée par 100%. La variation en pourcentage résultante de l'obligation, correspondant à une augmentation du taux d'intérêt de 8% à 9%, est estimée à -4, 62% ​​(0, 01 * à 4, 62 * 100%).

Par conséquent, si les taux d'intérêt augmentent de 1% du jour au lendemain, le prix de l'obligation devrait baisser de 4, 62%.

Les swaps de durée et de taux d’intérêt modifiés

La durée modifiée peut être étendue pour calculer le nombre d'années qu'un swap de taux d'intérêt prendrait pour rembourser le prix payé pour le swap. Un swap de taux d’intérêt est l’échange d’un ensemble de flux de trésorerie contre un autre et est basé sur les spécifications de taux d’intérêt entre les parties.

La durée modifiée est calculée en divisant la valeur en dollars d'un changement d'un point de base d'une branche de swap de taux d'intérêt ou d'une série de flux de trésorerie par la valeur actuelle de la série de flux de trésorerie. La valeur est ensuite multipliée par 10 000. La durée modifiée de chaque série de flux de trésorerie peut également être calculée en divisant la valeur en dollars d'une variation en points de base de la série de flux de trésorerie par la valeur nominale plus la valeur marchande. La fraction est ensuite multipliée par 10 000.

La durée modifiée des deux branches doit être calculée pour calculer la durée modifiée du swap de taux d’intérêt. La différence entre les deux durées modifiées correspond à la durée modifiée du swap de taux d’intérêt. La formule pour la durée modifiée du swap de taux d’intérêt est la durée modifiée du segment receveur moins la durée modifiée du segment payant.

Par exemple, supposons que les banques A et B concluent un swap de taux d’intérêt. La durée modifiée de la branche bénéficiaire d'un swap est calculée sur neuf ans et la durée modifiée de la branche payante est calculée sur cinq ans. La durée modifiée du swap de taux d’intérêt qui en résulte est de quatre ans (neuf à cinq ans).

Comparaison de la durée de Macaulay et de la durée modifiée

Comme la duration de Macaulay mesure le temps moyen pondéré qu'un investisseur doit détenir jusqu'à ce que la valeur actuelle des flux de trésorerie de l'obligation soit égale au montant payé pour l'obligation, elle est souvent utilisée par les gestionnaires d'obligations cherchant à gérer le risque de portefeuille obligataire au moyen de stratégies de vaccination. .

En revanche, la duration modifiée identifie l’importance de la variation de la duration pour chaque variation en pourcentage du rendement tout en mesurant l’impact d’un changement des taux d’intérêt sur le prix d’une obligation. Ainsi, la duration modifiée peut constituer une mesure du risque pour les investisseurs en obligations en calculant à quel point le prix d’une obligation pourrait baisser avec une augmentation des taux d’intérêt. Il est important de noter que les prix des obligations et les taux d’intérêt ont une relation inverse.